Determine o valor de a-b tal que p(x)=2 x^{4}+3 x^{3}+a x^{2}-b x-3 seja divisível por g(x)=x^{2}-2 x-3.

Passo 1

O enunciado pede o valor de a-b para que o polinômio
p(x)=2x^{4}+3x^{3}+a x^{2}-b x-3
seja divisível pelo polinômio
g(x)=x^{2}-2x-3.
Como g(x) é de grau 2, a divisibilidade implica que o resto da divisão de p(x) por g(x) seja zero. Vamos usar o fato de que g(x)=0 tem duas raízes, e exigiremos que p também se anule nessas raízes.

Passo 2

Encontramos as raízes de g(x)=x^{2}-2x-3. Resolvendo
x^{2}-2x-3=0
temos
x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2},
logo as raízes são x=3 e x=-1.

Passo 3

Como p(x) deve anular-se em x=3, calculamos p(3)=0:
p(3)=2\cdot3^{4}+3\cdot3^{3}+a\cdot3^{2}-b\cdot3-3.
Isso dá
p(3)=2\cdot81+3\cdot27+9a-3b-3=162+81+9a-3b-3=240+9a-3b.
Impondo p(3)=0, vem
240+9a-3b=0 \quad\Longrightarrow\quad 3a - b +80=0 \quad\Longrightarrow\quad b=3a+80.

Passo 4

Do mesmo modo, exige-se p(-1)=0:
p(-1)=2\cdot(-1)^{4}+3\cdot(-1)^{3}+a\cdot(-1)^{2}-b\cdot(-1)-3.
Logo
p(-1)=2\cdot1+3\cdot(-1)+a\cdot1+b-3 =2-3+a+b-3=-4+a+b.
Impondo p(-1)=0, obtemos
-4+a+b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=4-a.

Passo 5

Igualamos as duas expressões para b:
3a+80 = 4-a \quad\Longrightarrow\quad 4a = -76 \quad\Longrightarrow\quad a=-19.
Substituindo em b=4-a
b=4-(-19)=23.

Passo 6

Finalmente, calculamos
a-b = (-19)-23 = -42.

Resposta

-42

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