Se
, então
é:
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede uma coisa. Vou listar tudo claramente (tudo em TeX):
- Foi dado que
. - Foi dado que
. - O que se pede: calcular
.
Observação importante para que os logaritmos existam (só pra ficar tranquilo): precisa ter
,
e os argumentos dos logaritmos (aqui
) são positivos, o que está ok.
Passo 2
Lembra de uma propriedade básica de logaritmos: o logaritmo de uma potência traz o expoente para fora. Vou demonstrar rapidinho porque é verdade (assim você decora com sentido).
Seja e
real e ponha
. Isso significa que
Seja
Elevando ambos os lados à potência
obtém-se
Aplicando
em ambos os lados vem
Portanto vale a fórmula
Passo 3
Usando a propriedade do Passo 2 com
e
, escrevo primeiro a raiz cúbica como potência:
Logo,
Passo 4
Outra propriedade fundamental que vamos usar é a do logaritmo do produto: para
e
,
Uma demonstração curta: se
e
então
e
, daí
e
.
Passo 5
Aplicando a propriedade do produto ao número
, que se escreve
, obtenho
Passo 6
Agora escrevo
em função de
:
. Usando a propriedade da potência (Passo 2),
Como
(dado), segue que
Passo 7
Substituo
(dado) e
na expressão de
do Passo 5:
Voltando ao Passo 3, onde tinha
, substituo:
Se preferir, escrevo de forma rearranjada: