Se \log _{x} 2=a, \log _{x} 3=b, então \log _{x} \sqrt[3]{12} é:

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede uma coisa. Vou listar tudo claramente (tudo em TeX):
  • Foi dado que \log_{x} 2 = a.
  • Foi dado que \log_{x} 3 = b.
  • O que se pede: calcular \log_{x} \sqrt[3]{12}.
Observação importante para que os logaritmos existam (só pra ficar tranquilo): precisa ter x>0, x\neq1 e os argumentos dos logaritmos (aqui 2,3,12) são positivos, o que está ok.

Passo 2

Lembra de uma propriedade básica de logaritmos: o logaritmo de uma potência traz o expoente para fora. Vou demonstrar rapidinho porque é verdade (assim você decora com sentido).
Seja y>0 e k real e ponha u=\log_{x} y. Isso significa que
y = x^{u}.
Elevando ambos os lados à potência k obtém-se
y^{k} = x^{ku}.
Aplicando \log_{x} em ambos os lados vem
\log_{x} (y^{k}) = ku = k\log_{x} y.
Portanto vale a fórmula
\log_{x} (y^{k}) = k\log_{x} y.

Passo 3

Usando a propriedade do Passo 2 com y=12 e k=\tfrac{1}{3}, escrevo primeiro a raiz cúbica como potência:
\sqrt[3]{12} = 12^{1/3}.
Logo,
\log_{x} \sqrt[3]{12} = \log_{x} \bigl(12^{1/3}\bigr) = \tfrac{1}{3}\log_{x} 12.

Passo 4

Outra propriedade fundamental que vamos usar é a do logaritmo do produto: para A>0 e B>0,
\log_{x} (AB) = \log_{x} A + \log_{x} B.
Uma demonstração curta: se \log_{x} A = u e \log_{x} B = v então A=x^{u} e B=x^{v}, daí AB=x^{u+v} e \log_{x}(AB)=u+v.

Passo 5

Aplicando a propriedade do produto ao número 12, que se escreve 12 = 3\cdot 4, obtenho
\log_{x} 12 = \log_{x} (3\cdot 4) = \log_{x} 3 + \log_{x} 4.

Passo 6

Agora escrevo 4 em função de 2: 4 = 2^{2}. Usando a propriedade da potência (Passo 2),
\log_{x} 4 = \log_{x} (2^{2}) = 2\log_{x} 2.
Como \log_{x} 2 = a (dado), segue que
\log_{x} 4 = 2a.

Passo 7

Substituo \log_{x} 3 = b (dado) e \log_{x} 4 = 2a na expressão de \log_{x} 12 do Passo 5:
\log_{x} 12 = \log_{x} 3 + \log_{x} 4 = b + 2a.
Voltando ao Passo 3, onde tinha \log_{x} \sqrt[3]{12} = \tfrac{1}{3}\log_{x} 12, substituo:
\log_{x} \sqrt[3]{12} = \tfrac{1}{3}(b + 2a).
Se preferir, escrevo de forma rearranjada:
\log_{x} \sqrt[3]{12} = \frac{2a + b}{3}.

Resposta

\dfrac{2a+b}{3}

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