Determine o valor de c para o qual lim x infty(x+cx-c)^x=4.

Passo 1

O enunciado pede determinar c tal que
limxtoinftyl(x+cx-cr)^x=4
O conteúdo envolvido é limite de forma exponencial, em que usamos logaritmo e equivalentes para converter em um exponencial simples.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(x+cx-cr)^x
Tomando logaritmo natural, temos
ln L = limxtoinftyx;ln!l(x+cx-cr)
Depois de achar esse limite, voltamos exponenciando.

Passo 3

Reescrevemos a fração como
x+cx-c = 1 + tfraccx1 - tfraccx
Para x grande, tfraccx é pequeno, então usamos o equivalente
ln(1+u)approx u. Assim,
ln!l(1 + tfraccxr)approx tfraccx, ln!l(1 - tfraccxr)approx -tfraccx,
e daí
ln!l(tfracx+cx-cr) = ln!l(1 + tfraccxr) - ln!l(1 - tfraccxr) approx tfraccx - (-tfraccx) = tfrac2cx

Passo 4

Substituindo em ln L,
ln L = limxtoinfty xcdot tfrac2cx = 2c
Portanto
L = e^2c

Passo 5

Queremos L=4, ou seja
e^2c = 4 Longrightarrow 2c = ln 4 Longrightarrow c = tfrac12ln 4 = ln 2

Resposta

c = ln 2

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