Suponha que lim x infty f(x)=lim x infty f^prime(x)=lim x infty f^prime prime(x)=infty e lim x infty x f^prime prime prime(x)f^prime prime(x)= 1. Calcule lim x infty x f^prime(x)f(x).

Passo 1

O enunciado pede
– calcular L=limxtoinftyx,f'(x)f(x),
sabendo que
limxtoinftyf(x)=limxtoinftyf'(x)=limxtoinftyf''(x)=infty
e
limxtoinftyx,f'''(x)f''(x)=1.
O conteúdo aqui é análise assintótica: diante de
limxtoinftyx,h'(x)h(x)=1,
vemos que h(x) cresce como uma potência de x. Vamos aplicar isso a h(x)=f''(x).

Passo 2

Defina h(x)=f''(x). Então h'(x)=f'''(x) e temos
limxtoinftyx,h'(x)h(x)=1
Isso significa que para x grande
h'(x)h(x)approx1x,
isto é,
l(ln h(x)r)'=h'(x)h(x)approx1x.
Integrando de uma constante x0 até x
lnh(x)h(x0)approxintegralx0^xdtt=ln xx0,
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h(x)=f''(x)sim C,x (para alguma constante C>0)

Passo 3

Como f''(t)sim C,t, integramos para obter f'(x):
f'(x)=integral^x f''(t),dtsim integral^x C,t,dt =C2,x^2 (termo dominante)

Passo 4

Agora integramos f'(t)simC2t^2 para achar f(x):
f(x)=integral^x f'(t),dtsim integral^x C2,t^2,dt =C6,x^3 (termo dominante)

Passo 5

Finalmente, com f'(x)simC2x^2 e f(x)simC6x^3, temos
x,f'(x)f(x) sim x;l(tfracC2x^2r)tfracC6x^3 =tfracC2x^3tfracC6x^3 =C/2C/6 =3

Resposta

boxed3

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