Determine o valor de C para que as seguintes funções representem densidades de probabilidade:

Passo 1

Beleza, então o problema é: temos uma função f(x,y) = C , e^-a x100 - a y50, & se 0 < y < x, 0, & caso contrário que depende de uma constante e dos parâmetros , e ela vale
á
O que queremos é descobrir qual é o valor de para que isso realmente seja uma densidade de probabilidade conjunta.
Conteúdo: densidade de probabilidade conjunta de variáveis contínuas e normalização.
O que vai rolar: a gente vai usar a regra de que a integral dupla de sobre todo o plano tem que dar 1.

Passo 2

Primeiro, identificamos o suporte (região onde 0 é não nula):
integral duplaR^2 f(x,y),dx,dy ;=;integraly=0^inftyintegralx=y^infty C,e^-a x100 - a y50,dx,dy ;=;1
Para ter uma densidade válida, precisamos que
Aqui a gente vai integrar primeiro em (de até ) e depois em .

Passo 3

Fazendo a integral interna em integralx=y^infty e^-a x100,dx :
integralx=y^infty e^-a x100,dx = 1tfraca100 ; e^-a y100 = 100a,e^-a y100
Lembra que integraly=0^infty C,underbracel(100ae^-a y100r)resu. Aqui e , então
Então a integral dupla vira

Passo 4

Juntando as exponenciais em e^-a y100,e^-a y50 = e^-a yl(tfrac1100+tfrac150r) = e^-a ycdot3100 :
C100aintegral0^infty e^-,3a100,y,dy
Então agora temos
integral0^infty e^-,3a100,y,dy = 1tfrac3a100 = 1003a
De novo a fórmula integral dupla f(x,y),dx,dy = C cdot 100a cdot 1003a = C ,100003a^2 , com . Logo
Multiplicando tudo:

Passo 5

Agora impomos a condição de normalização:
C ,100003a^2 = 1 Longrightarrow C = 3a^210000

Resposta

boxedC = 3a^210000

Exercícios relacionados