Determine o valor de para que as seguintes funções representem densidades de probabilidade:
Passo 1
Beleza, então o problema é: temos uma função que depende de uma constante e dos parâmetros , e ela vale
O que queremos é descobrir qual é o valor de para que isso realmente seja uma densidade de probabilidade conjunta.
Conteúdo: densidade de probabilidade conjunta de variáveis contínuas e normalização.
O que vai rolar: a gente vai usar a regra de que a integral dupla de sobre todo o plano tem que dar 1.
Passo 2
Primeiro, identificamos o suporte (região onde é não nula):
Para ter uma densidade válida, precisamos que
Aqui a gente vai integrar primeiro em (de até ) e depois em .
Passo 3
Fazendo a integral interna em :
Lembra que . Aqui e , então
Então a integral dupla vira
Passo 4
Juntando as exponenciais em e^-a y100,e^-a y50 = e^-a yl(tfrac1100+tfrac150r) = e^-a ycdot3100 :