O gerente de um banco recebe em média um cliente a cada 40 minutos a partir do início do horário de funcionamento (11h). Você quer falar com o gerente, mas chegou a minutos após a abertura da agência. Suponha ainda que o tempo de atendimento com o gerente segue uma distribuição normal com média de 600/ a minutos e desvio padrão de 150/a minutos.
Considerando que existam outros quatro clientes a serem atendidos pelo gerente e que a chegada deles seja igual a sua, mas imediatamente antes. Qual a probabilidade do seu atendimento terminar antes das 12:40h?

Passo 1

Resumo do enunciado:
Você chega minutos após as 11h numa agência de banco. Já há 4 clientes na sua frente (todos chegaram imediatamente antes de você). Cada atendimento com o gerente tem duração aleatória que segue uma distribuição Normal com média minutos e desvio padrão minutos. Queremos a probabilidade de que o seu atendimento (ou seja, a soma dos 5 atendimentos: 4 na sua frente + o seu) termine antes das 12:40 h (isto é, até o instante 100 minutos após as 11h).
Conteúdo da matéria:
  • Distribuição Normal
  • Soma de variáveis independentes normalmente distribuídas
  • Padronização e uso da função de distribuição acumulada
O que precisaremos:
  1. Modelar cada tempo de atendimento .
  2. Calcular a soma .
  3. Padronizar e usar a tabela da Normal padrão para achar .

Passo 2

Definindo as variáveis de atendimento:
Para Xi sim N!l(mu = tfrac600a,;sigma^2 = l(tfrac150ar)^2r), , seja
onde os 4 primeiros são os atendimentos dos clientes à sua frente e é o seu. Assumimos independência entre eles.

Passo 3

Soma das 5 Normais:
Se S sim N!l(5mu,;5sigma^2r) = N!l(tfrac5cdot 600a,;5l(tfrac150ar)^2r) = N!l(tfrac3000a,;tfrac(150)^2cdot 5a^2r) , então
Pl(S <= 100 - ar)
Queremos . Como você chegou no tempo , o término do 5º atendimento deve ser até minutos após as 11h, ou seja

Passo 4

Padronização:
Z = S - tfrac3000araiztfrac(150)^2 ,5a^2 = S - tfrac3000atfrac150raiz5a sim N(0,1)
Então
Pl(S <= 100 - ar) = P!l(Z <= (100 - a) - tfrac3000atfrac150raiz5ar) = Phi!l(a,(100 - a) - 3000150raiz5r),
onde é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.

Resposta

boxedPl(seu atendimento termina antes de 12:40r) = Phi!l(a,(100 - a) - 3000150raiz5r)

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