O gerente de um banco recebe em média um cliente a cada 40 minutos a partir do início do horário de funcionamento (11h). Você quer falar com o gerente, mas chegou minutos após a abertura da agência. Suponha ainda que o tempo de atendimento com o gerente segue uma distribuição normal com média de 600/ minutos e desvio padrão de minutos.
Considerando que existam outros quatro clientes a serem atendidos pelo gerente e que a chegada deles seja igual a sua, mas imediatamente antes. Qual a probabilidade do seu atendimento terminar antes das 12:40h?
Passo 1
Resumo do enunciado:
Você chega minutos após as 11h numa agência de banco. Já há 4 clientes na sua frente (todos chegaram imediatamente antes de você). Cada atendimento com o gerente tem duração aleatória que segue uma distribuição Normal com média minutos e desvio padrão minutos. Queremos a probabilidade de que o seu atendimento (ou seja, a soma dos 5 atendimentos: 4 na sua frente + o seu) termine antes das 12:40 h (isto é, até o instante 100 minutos após as 11h).
Conteúdo da matéria:
Distribuição Normal
Soma de variáveis independentes normalmente distribuídas
Padronização e uso da função de distribuição acumulada
O que precisaremos:
Modelar cada tempo de atendimento .
Calcular a soma .
Padronizar e usar a tabela da Normal padrão para achar .
Passo 2
Definindo as variáveis de atendimento:
Para Xi sim N!l(mu = tfrac600a,;sigma^2 = l(tfrac150ar)^2r), , seja
onde os 4 primeiros são os atendimentos dos clientes à sua frente e é o seu. Assumimos independência entre eles.
Passo 3
Soma das 5 Normais:
Se S sim N!l(5mu,;5sigma^2r) = N!l(tfrac5cdot 600a,;5l(tfrac150ar)^2r) = N!l(tfrac3000a,;tfrac(150)^2cdot 5a^2r) , então
Pl(S <= 100 - ar)
Queremos . Como você chegou no tempo , o término do 5º atendimento deve ser até minutos após as 11h, ou seja
Passo 4
Padronização:
Z = S - tfrac3000araiztfrac(150)^2 ,5a^2 = S - tfrac3000atfrac150raiz5a sim N(0,1)
Então
Pl(S <= 100 - ar) = P!l(Z <= (100 - a) - tfrac3000atfrac150raiz5ar) = Phi!l(a,(100 - a) - 3000150raiz5r),
onde é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
Resposta
boxedPl(seu atendimento termina antes de 12:40r) = Phi!l(a,(100 - a) - 3000150raiz5r)