O gerente de um banco recebe em média um cliente a cada 40 minutos a partir do início do horário de funcionamento (11h). Você quer falar com o gerente, mas chegou minutos após a abertura da agência. Suponha ainda que o tempo de atendimento com o gerente segue uma distribuição normal com média de 600/ minutos e desvio padrão de minutos.
Qual a probabilidade de já existir um cliente sendo atendido pelo gerente no momento em que você chega ao banco?
Passo 1
Beleza, vamos primeiro resumir o que o enunciado está pedindo, dizer qual o conteúdo envolvido e o que a gente vai precisar para resolver.
– Enunciado em poucas palavras: o gerente recebe clientes segundo um processo de Poisson de taxa λ = 1/40 por minuto (ou seja, em média um cliente a cada 40 min), e cada atendimento dura um tempo S que é distribuído normalmente
S sim N!l(mu = tfrac600a,;sigma = tfrac150ar)
Você chega ao banco no instante t = a (minutos depois das 11h) e quer saber qual a probabilidade de já ter alguém em atendimento nesse exato instante.
Conteúdo que vamos usar:
Processo de chegada de Poisson (M) e classes de serviço com distribuição geral (G).
Propriedade de que, num sistema M/G/∞, o número de atendimentos “em curso” num dado instante é uma variável de Poisson com média
m(a);=;lambda;integral0^aPl(S > a - tr),dt
Daí a probabilidade de existir pelo menos um atendimento em curso em t = a é
P(ocupado em a);=;1 - e^-m(a)
Passo 2
Explicando primeiro a ideia de Poisson + serviços gerais:
– Chegadas em Poisson (taxa λ) significa que em cada intervalinho Δt a probabilidade de vir exatamente 1 cliente é λ Δt + o(Δt), e os tempos entre chegadas são exponenciais independentes.
– Em um sistema “infinito” de servidores (M/G/∞), cada cliente inicia atendimento assim que chega, sem ficar na fila, e o tempo de atendimento dele é independente dos outros.
– Num ponto fixo t, cada chegada que veio em um instante t′ < t ainda “está viva” (ou seja, ainda está sendo atendida) se S > t–t′.
Assim, se eu quiser contar quantos atendimentos ainda estão em curso no instante t=a, basta somar para cada tempo de chegada t′∈[0,a] a probabilidade de que o serviço ainda não tenha terminado às t. Isso gera uma variável de Poisson de média