O gerente de um banco recebe em média um cliente a cada 40 minutos a partir do início do horário de funcionamento (11h). Você quer falar com o gerente, mas chegou a minutos após a abertura da agência. Suponha ainda que o tempo de atendimento com o gerente segue uma distribuição normal com média de 600/ a minutos e desvio padrão de 150/a minutos.
Qual a probabilidade de já existir um cliente sendo atendido pelo gerente no momento em que você chega ao banco?

Passo 1

Beleza, vamos primeiro resumir o que o enunciado está pedindo, dizer qual o conteúdo envolvido e o que a gente vai precisar para resolver.
– Enunciado em poucas palavras: o gerente recebe clientes segundo um processo de Poisson de taxa λ = 1/40 por minuto (ou seja, em média um cliente a cada 40 min), e cada atendimento dura um tempo S que é distribuído normalmente
S sim N!l(mu = tfrac600a,;sigma = tfrac150ar)
Você chega ao banco no instante t = a (minutos depois das 11h) e quer saber qual a probabilidade de já ter alguém em atendimento nesse exato instante.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Processo de chegada de Poisson (M) e classes de serviço com distribuição geral (G).
  2. Propriedade de que, num sistema M/G/∞, o número de atendimentos “em curso” num dado instante é uma variável de Poisson com média
m(a);=;lambda;integral0^aPl(S > a - tr),dt
  1. Daí a probabilidade de existir pelo menos um atendimento em curso em t = a é
P(ocupado em a);=;1 - e^-m(a)

Passo 2

Explicando primeiro a ideia de Poisson + serviços gerais:
– Chegadas em Poisson (taxa λ) significa que em cada intervalinho Δt a probabilidade de vir exatamente 1 cliente é λ Δt + o(Δt), e os tempos entre chegadas são exponenciais independentes.
– Em um sistema “infinito” de servidores (M/G/∞), cada cliente inicia atendimento assim que chega, sem ficar na fila, e o tempo de atendimento dele é independente dos outros.
– Num ponto fixo t, cada chegada que veio em um instante t′ < t ainda “está viva” (ou seja, ainda está sendo atendida) se S > t–t′.
Assim, se eu quiser contar quantos atendimentos ainda estão em curso no instante t=a, basta somar para cada tempo de chegada t′∈[0,a] a probabilidade de que o serviço ainda não tenha terminado às t. Isso gera uma variável de Poisson de média
m(a);=;lambda integral0^aPl(S > a - t'r),dt' ;=;140integral0^a l[1 - FS(a - t')r],dt',
em que F_S(x) é a função de distribuição acumulada de .

Passo 3

Agora, para nosso caso mu = 600a, sigma = 150a, com
Pl(S > xr) =1 - FS(x) =1 - Phi!l(x - musigmar),
a função de sobrevivência é
m(a) =140integral0^a l[1 - Phi!l(tfrac(a - t') - tfrac600atfrac150ar)r],dt'
onde é a função de distribuição da Normal padrão.
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Passo 4

Por fim, a probabilidade de ter ao menos um atendimento em curso (ou seja, o gerente estar ocupado) quando você chega em t=a é a cauda da Poisson:
P(ocupado em a) =1 - Pl(0 atendimentosr) =1 - e^-m(a)

Resposta

boxed P(>=rente ocupado em a) ;=; 1 ;-; expgl; -;140 integral0^a l[,1 - Phi!l(tfrac(a - t) - tfrac600atfrac150ar)r] ,dt gr

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