Determine o valor de em cada caso a seguir,
Que torne o sistema linear impossível.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações em quatro incógnitas (x,y,z,t) com um parâmetro k. Queremos achar o(s) valor(es) de k que tornam o sistema impossível (ou seja, sem solução). Para isso, vamos usar eliminação de Gauss para verificar quando surge uma contradição.

Passo 2

Eliminamos x entre as duas primeiras equações. Da segunda equação
x + y + 4z - t = -6
isolamos x = -y - 4z + t -6 e substituímos na primeira
3x + 5y +12z - t = -3
Fazendo isso obtemos
3(-y -4z +t -6) +5y +12z - t = -3 ;Longrightarrow;2y +2t = 15 ;Longrightarrow;y + t = tfrac152

Passo 3

Agora usamos y = tfrac152 - t na terceira equação
2y +2z + t = 5
e simplificamos:
2l(tfrac152-tr)+2z +t = 5 ;Longrightarrow;2z - t = -10
Chamemos essa equação de (6). A quarta equação é
2z + k,t = 9
Chamemos-a de (4).

Passo 4

Temos o sistema em
Subtraindo para eliminar
Se , então
e daí obtemos , e sem contradição. Logo, para o sistema é compatível.

Passo 5

Se k = -1, a equação (k+1),t=19 vira 0cdot t = 19, uma contradição. Alternativamente, colocando k=-1 as equações (6) e (4) ficam
2z - t = -10, 2z - t = 9,
que não podem ser simultaneamente verdadeiras. Logo, o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema é impossível exatamente para
k = -1

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