Em cada item abaixo, determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=x^2 y-3 x y^2+3 y z, fy(x, y, z)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=x^2y - 3xy^2 + 3yz
e pede a derivada parcial de f em relação a y, denotada por fy(x,y,z). Para isso, lembramos que, ao derivar em relação a y, tratamos x e z como constantes e usamos as regras básicas de derivação de monômios:
ddy(y^n)=n,y^n-1, ddy(a,y)=a,
e a linearidade da derivada.

Passo 2

Derivamos termo a termo, mantendo x e z como constantes:
– Para x^2y, temos
partialpartial y(x^2y)=x^2
– Para -3xy^2, usamos que -3x é constante e ddy(y^2)=2y, logo
partialpartial y(-3xy^2) =-3xcdot 2y =-6xy
– Para 3yz, o fator 3z é constante e ddy(y)=1, então
partialpartial y(3yz)=3z
Somando os resultados, obtemos a derivada parcial completa.

Resposta

fy(x,y,z)=x^2-6xy+3z

Exercícios relacionados