Determine o valor de cada integral abaixo (Se fizer sentido, calcule com a ordem invertida dos limites de integração):
integral duplaD 1 d A, D é um laço da rosácea de quatro pétalas r=cos (2 theta). Observe que o raio tem variação dependente do ângulo
D=(r, theta) /-pi4 <= theta <= pi4 ; 0 <= r <= cos (2 theta)

Passo 1

Resumindo o que a questão pede: queremos calcular a área do ramo da rosácea ,r=cos(2theta), para -tfracpi4<=theta<=tfracpi4. O conteúdo usado aqui é a integração em coordenadas polares, lembrando que o elemento de área é
dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Montamos a integral em polares para integral duplaD1,dA:
integral duplaD1,dA =integraltheta=-pi4^pi4integralr=0^cos(2theta)r,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em r:
integralr=0^cos(2theta)r,dr =r^22|0^cos(2theta) =cos^2(2theta)2
Logo a área vira
integral duplaD1,dA =integral-pi4^pi4cos^2(2theta)2,dtheta =12integral-pi4^pi4cos^2(2theta),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de redução
cos^2(2theta) =1+cos(4theta)2,
então
12integral-pi4^pi4cos^2(2theta),dtheta =12integral-pi4^pi41+cos(4theta)2,dtheta =14integral-pi4^pi4l(1+cos(4theta)r),dtheta

Passo 5

Calculamos a integral em theta:
integral-pi4^pi41,dtheta =pi2, integral-pi4^pi4cos(4theta),dtheta =sin(4theta)4|-pi4^pi4 =0
Portanto
integral duplaD1,dA =14cdotpi2 =pi8

Resposta

pi8

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