Um objeto se move em linha reta e sua posição em um certo instante de tempo t é dada pela função f(t)=3 t^2-2 t+5. Sabendo que a posição do objeto é medida em metros e o tempo é medido em segundos, use a definição de derivada para encontrar a velocidade (instantânea) do objeto no instante t=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade instantânea, que é a derivada da função de posição f(t)=3t^2-2t+5, no instante t=3. Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente de diferenças.

Passo 2

A definição de derivada no ponto t=3 é dada por
f'(3)=limhto 0f(3+h)-f(3)h
Aqui h representa um pequeno acréscimo de tempo.

Passo 3

Primeiro, calculamos f(3) e f(3+h):
f(3)=3cdot3^2-2cdot3+5=27-6+5=26,
f(3+h)=3(3+h)^2-2(3+h)+5=3(9+6h+h^2)-6-2h+5=26+16h+3h^2

Passo 4

Agora substituímos no quociente de diferenças e simplificamos:
f(3+h)-f(3)h=(26+16h+3h^2)-26h=16h+3h^2h=16+3h

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando hto0:
f'(3)=limhto0(16+3h)=16
Isso significa que a velocidade instantânea no instante t=3 é 16 metros por segundo.

Resposta

16 m/s

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