Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x-1}{x^{2}+3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: a expressão \dfrac{2x-1}{x^{2}+3}.
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x-1}{x^{2}+3}.

Passo 2

Conceito importante — por que essa forma aparece frequentemente?
Quando x\to+\infty polinômios têm comportamento dominado pelos termos de maior grau. Aqui o numerador é um polinômio de grau 1 e o denominador é de grau 2. Em geral, se o grau do denominador for maior que o do numerador, a fração tende a zero; se igual, tende ao quociente dos coeficientes líderes; se menor, tende a \pm\infty. Vou mostrar isso de forma algébrica para você poder aplicar na prova.

Passo 3

Método prático e seguro: dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{2}). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero, facilitando o cálculo do limite. Faço a divisão:
\frac{2x-1}{x^{2}+3} = \frac{\dfrac{2x-1}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}+3}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{2x}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora analiso os limites das partes que aparecem (tudo com x\to+\infty):
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2}{x}=0. Explicação: \dfrac{2}{x} é uma constante dividida por x; quando x cresce sem limite, a fração fica cada vez menor e tende a zero.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x^{2}}=0. Motivo similar: x^{2} cresce ainda mais rápido que x, então \dfrac{1}{x^{2}} vai a zero.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{3}{x^{2}}=0 pelo mesmo motivo.

Passo 5

Com os resultados do passo anterior, uso que, quando os limites das partes existem e o denominador limite é diferente de zero, posso passar ao limite da razão:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)} {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{x^{2}}\right)} = \frac{0-0}{1+0} = \frac{0}{1}.

Passo 6

Interpretação final do passo anterior: a expressão do limite ficou \dfrac{0}{1}.

Resposta

0

Exercícios relacionados