Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado: a expressão
. - Pedido: calcular
.
Passo 2
Conceito importante — por que essa forma aparece frequentemente?
Quando polinômios têm comportamento dominado pelos termos de maior grau. Aqui o numerador é um polinômio de grau
e o denominador é de grau
. Em geral, se o grau do denominador for maior que o do numerador, a fração tende a zero; se igual, tende ao quociente dos coeficientes líderes; se menor, tende a
. Vou mostrar isso de forma algébrica para você poder aplicar na prova.
Quando
Passo 3
Método prático e seguro: dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui
). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero, facilitando o cálculo do limite. Faço a divisão:
Passo 4
Agora analiso os limites das partes que aparecem (tudo com
):
-
. Explicação: é uma constante dividida por ; quando cresce sem limite, a fração fica cada vez menor e tende a zero. -
. Motivo similar: cresce ainda mais rápido que , então vai a zero. -
pelo mesmo motivo.
Passo 5
Com os resultados do passo anterior, uso que, quando os limites das partes existem e o denominador limite é diferente de zero, posso passar ao limite da razão:
Passo 6
Interpretação final do passo anterior: a expressão do limite ficou
.