Encontre a força associada a cada uma das seguintes funções energia potencial
V=k(x^alpha+y^beta+z^gamma)

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
V = kl(x^alpha + y^beta + z^gammar)
em coordenadas cartesianas e pede a força associada. O conteúdo principal é a relação entre energia potencial e força, que envolve o gradiente.

Passo 2

Lembrando que, em mecânica clássica, a força F é dada por
F = -nabla V
ou seja, suas componentes são
Fx = -partial Vpartial x, Fy = -partial Vpartial y, Fz = -partial Vpartial z

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial de V:
partial Vpartial x = k,partialpartial xl(x^alphar) = k,alpha,x^alpha-1,
partial Vpartial y = k,partialpartial yl(y^betar) = k,beta,y^beta-1,
partial Vpartial z = k,partialpartial zl(z^gammar) = k,gamma,z^gamma-1

Passo 4

Aplicando o sinal negativo da definição de força, obtemos
Fx = -k,alpha,x^alpha-1, Fy = -k,beta,y^beta-1, Fz = -k,gamma,z^gamma-1
Assim, a força vetorial é
F = l(Fx,,Fy,,Fzr) = l(-kalpha,x^alpha-1,,-kbeta,y^beta-1,,-kgamma,z^gamma-1r)

Resposta

F = l(-kalpha,x^alpha-1,,-kbeta,y^beta-1,,-kgamma,z^gamma-1r)

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