Determine o valor das constantes a e b para que a função y=a \operatorname{sen}(2 x)+b \cos (2 x) satisfaça a equação y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=\operatorname{sen}(2 x).

Passo 1

O enunciado dá a função y = a \operatorname{sen}(2x) + b \cos(2x) (onde a e b são constantes) e pede para determinar a e b de modo que essa função satisfaça a equação diferencial
y'' + y' - 2y = \operatorname{sen}(2x).
Informações relevantes:
\text{Função proposta: } y = a \operatorname{sen}(2x) + b \cos(2x).çã
\text{Equação a satisfazer: } y'' + y' - 2y = \operatorname{sen}(2x).çã
A tarefa é encontrar os valores numéricos de a e b.

Passo 2

Vamos usar a ideia de coeficientes indeterminados: assumimos uma solução da forma dada (combinação de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x)) e determinamos a e b de modo que, ao substituir na equação, a igualdade seja verdadeira para todo x. Isso funciona porque o termo forçante é \operatorname{sen}(2x) e a combinação \operatorname{sen}(2x),\cos(2x) é a forma geral necessária para obter uma resposta com essa frequência (não há ressonância com a solução homogênea, pois as raízes do polinômio característico da homogênea não são imaginárias).

Passo 3

Calculemos as derivadas de y. Lembre-se: a derivada de \operatorname{sen}(kx) é k\cos(kx) e a derivada de \cos(kx) é -k\operatorname{sen}(kx) (regra da cadeia).
Começando por
y = a \operatorname{sen}(2x) + b \cos(2x),
temos
y' = 2a \cos(2x) - 2b \operatorname{sen}(2x).
Derivando novamente:
y'' = -4a \operatorname{sen}(2x) -4b \cos(2x).
Cada passo: derive termo a termo, multiplicando por 2 pela regra da cadeia ao derivar as funções trigonométricas de argumento 2x.

Passo 4

Substituímos y, y', y'' na expressão y'' + y' - 2y e agrupamos os coeficientes de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x).
Escrevendo cada parte:
y'' = -4a \operatorname{sen}(2x) -4b \cos(2x),
y' = -2b \operatorname{sen}(2x) + 2a \cos(2x),
-2y = -2a \operatorname{sen}(2x) -2b \cos(2x).
Somando:
y''+y'-2y = (-4a-2b-2a)\operatorname{sen}(2x) + (-4b+2a-2b)\cos(2x).
Simplificando os coeficientes:
y''+y'-2y = (-6a-2b)\operatorname{sen}(2x) + (2a-6b)\cos(2x).

Passo 5

Para que essa expressão seja igual a \operatorname{sen}(2x)\) para todo \(x\), os coeficientes de \(\operatorname{sen}(2x)\) e \(\cos(2x)\) devem corresponder aos da direita. A direita é \(1\cdot\operatorname{sen}(2x) + 0\cdot\cos(2x)\). Assim obtemos o sistema linear em \(a,b\): \[\begin{cases} -6a - 2b = 1,\\[4pt] 2a - 6b = 0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação 2a = 6b\], então \(a = 3b. Substituindo na primeira:
-6(3b) - 2b = 1 \Rightarrow -18b - 2b = 1 \Rightarrow -20b = 1 \Rightarrow b = -\dfrac{1}{20}.
Logo
a = 3b = 3\left(-\dfrac{1}{20}\right) = -\dfrac{3}{20}.
Verificação rápida: com a=-\dfrac{3}{20} e b=-\dfrac{1}{20} os coeficientes calculados no Passo 4 ficam -6a-2b=1 e 2a-6b=0, confirmando que a igualdade vale.]

Resposta

a=-\dfrac{3}{20} \n
b=-\dfrac{1}{20}

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