Determine o valor das constantes
e
para que a função
satisfaça a equação
.
Passo 1
O enunciado dá a função
(onde
e
são constantes) e pede para determinar
e
de modo que essa função satisfaça a equação diferencial
Informações relevantes:
A tarefa é encontrar os valores numéricos de
e
.
Passo 2
Vamos usar a ideia de coeficientes indeterminados: assumimos uma solução da forma dada (combinação de
e
) e determinamos
e
de modo que, ao substituir na equação, a igualdade seja verdadeira para todo
. Isso funciona porque o termo forçante é
e a combinação
é a forma geral necessária para obter uma resposta com essa frequência (não há ressonância com a solução homogênea, pois as raízes do polinômio característico da homogênea não são imaginárias).
Passo 3
Calculemos as derivadas de
. Lembre-se: a derivada de
é
e a derivada de
é
(regra da cadeia).
Começando por
Começando por
temos
Derivando novamente:
Cada passo: derive termo a termo, multiplicando por
pela regra da cadeia ao derivar as funções trigonométricas de argumento
.
Passo 4
Substituímos
na expressão
e agrupamos os coeficientes de
e
.
Escrevendo cada parte:
Somando:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Para que essa expressão seja igual a
Resolvendo: da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Logo
Verificação rápida: com
e
os coeficientes calculados no Passo 4 ficam
e
, confirmando que a igualdade vale.]