Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados. \ln (y)=x+y^{2} no ponto P=(-1,1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função dada, avaliadas no ponto P=(-1,1). A informação que temos é a relação implícita entre x e y:
\ln(y)=x+y^{2},
e o ponto onde queremos as retas é P=(-1,1). Em resumo: encontrar a inclinação da tangente no ponto (isto é, \dfrac{dy}{dx} em P) e então escrever as equações da reta tangente e da reta normal que passam por P.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a reta tangente a um gráfico em um ponto tem inclinação igual à derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada naquele ponto. A reta normal é a reta perpendicular à tangente no mesmo ponto, portanto sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja, se a tangente tem inclinação m, a normal tem inclinação -\dfrac{1}{m} (desde que m\neq0). Para obter \dfrac{dy}{dx} quando y aparece de forma implícita (como aqui), usamos diferenciação implícita: diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicar a regra da cadeia sempre que derivarmos uma expressão que envolve y.
Passo 3
Vamos diferenciar implicitamente a equação
\ln(y)=x+y^{2}.
Explique rápida das derivadas:
A derivada de \ln(y) em relação a x é, pela regra da cadeia, \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}. Aqui \dfrac{1}{y} é a derivada de \ln(u) em relação a u avaliada em u=y, e multiplicamos por du/dx=\dfrac{dy}{dx}.
A derivada de x em relação a x é 1.
A derivada de y^{2} em relação a x é, pela regra da cadeia, 2y\cdot \dfrac{dy}{dx} (derivada de u^{2} em relação a u é 2u, avaliada em u=y, vezes dy/dx).
Aplicando tudo isso obtemos:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+2y\frac{dy}{dx}.
Passo 4
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Agrupamos os termos que contém \dfrac{dy}{dx} no mesmo lado:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}=1.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} fica:
\left(\frac{1}{y}-2y\right)\frac{dy}{dx}=1.
Passo 5
Isolando \dfrac{dy}{dx} temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{1}{y}-2y}.
Podemos simplificar essa fração para uma forma mais clara. O denominador comum é y, então
\frac{1}{y}-2y=\frac{1-2y^{2}}{y}.
Substituindo isso na expressão de \dfrac{dy}{dx} obtemos
Agora aplicamos a forma ponto-inclinação para a normal com m=1 passando por (-1,1):
y-1=1\,(x-(-1))=x+1.
Simplificando:
y-1=x+1 \quad\Rightarrow\quad y=x+2.
Passo 9
Resumo e pequena motivação: derivamos implicitamente porque y não está isolado em função de x. A técnica de diferenciar ambos os lados e usar a regra da cadeia para termos com y é justamente o instrumento padrão para obter a inclinação da tangente em problemas assim. Depois, equações das retas saem direto da forma ponto-inclinação.