Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
\ln (y)=x+y^{2} no ponto P=(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função dada, avaliadas no ponto P=(-1,1). A informação que temos é a relação implícita entre x e y:
\ln(y)=x+y^{2},
e o ponto onde queremos as retas é P=(-1,1). Em resumo: encontrar a inclinação da tangente no ponto (isto é, \dfrac{dy}{dx} em P) e então escrever as equações da reta tangente e da reta normal que passam por P.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a reta tangente a um gráfico em um ponto tem inclinação igual à derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada naquele ponto. A reta normal é a reta perpendicular à tangente no mesmo ponto, portanto sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja, se a tangente tem inclinação m, a normal tem inclinação -\dfrac{1}{m} (desde que m\neq0). Para obter \dfrac{dy}{dx} quando y aparece de forma implícita (como aqui), usamos diferenciação implícita: diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicar a regra da cadeia sempre que derivarmos uma expressão que envolve y.

Passo 3

Vamos diferenciar implicitamente a equação
\ln(y)=x+y^{2}.
Explique rápida das derivadas:
  • A derivada de \ln(y) em relação a x é, pela regra da cadeia, \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}. Aqui \dfrac{1}{y} é a derivada de \ln(u) em relação a u avaliada em u=y, e multiplicamos por du/dx=\dfrac{dy}{dx}.
  • A derivada de x em relação a x é 1.
  • A derivada de y^{2} em relação a x é, pela regra da cadeia, 2y\cdot \dfrac{dy}{dx} (derivada de u^{2} em relação a u é 2u, avaliada em u=y, vezes dy/dx).
Aplicando tudo isso obtemos:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+2y\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Agrupamos os termos que contém \dfrac{dy}{dx} no mesmo lado:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}=1.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} fica:
\left(\frac{1}{y}-2y\right)\frac{dy}{dx}=1.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx} temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{1}{y}-2y}.
Podemos simplificar essa fração para uma forma mais clara. O denominador comum é y, então
\frac{1}{y}-2y=\frac{1-2y^{2}}{y}.
Substituindo isso na expressão de \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{1-2y^{2}}{y}}=\frac{y}{1-2y^{2}}.
Essa é a fórmula geral da derivada implícita para essa equação, em termos de y.

Passo 6

Agora avaliamos a derivada no ponto P=(-1,1). Como o valor de y no ponto é y=1, substituímos na fórmula:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{P}=\frac{y}{1-2y^{2}}\Bigg|_{y=1}=\frac{1}{1-2\cdot 1^{2}}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1.
Portanto a inclinação da reta tangente em P é m_{\text{tang}}=-1.

Passo 7

Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-inclinação da reta, que diz que a reta com inclinação m passando por (x_{0},y_{0}) é
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Aqui m=-1 e (x_{0},y_{0})=(-1,1). Substituindo:
y-1=-1\,(x-(-1)) = -1\,(x+1).
Agora simplificamos:
y-1=-x-1 \quad\Rightarrow\quad y=-x.
Então a equação da tangente fica y=-x. (Verificação rápida: para x=-1 obtemos y=1, ok.)

Passo 8

Inclinação da reta normal: é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como m_{\text{tang}}=-1, temos
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tang}}}=-\frac{1}{-1}=1.
Agora aplicamos a forma ponto-inclinação para a normal com m=1 passando por (-1,1):
y-1=1\,(x-(-1))=x+1.
Simplificando:
y-1=x+1 \quad\Rightarrow\quad y=x+2.

Passo 9

Resumo e pequena motivação: derivamos implicitamente porque y não está isolado em função de x. A técnica de diferenciar ambos os lados e usar a regra da cadeia para termos com y é justamente o instrumento padrão para obter a inclinação da tangente em problemas assim. Depois, equações das retas saem direto da forma ponto-inclinação.

Resposta

y=-x
y=x+2

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