Obtenha o polinômio p(x) de grau 2 tal que p(1)=5, p^{\prime}(1)=3 e p^{\prime \prime}(1)=-4.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio p(x) de grau 2 que satisfaz três condições no ponto x=1:
p(1)=5,\qquad p'(1)=3,\qquad p''(1)=-4.
Informações relevantes dadas:
  • Queremos um polinômio de grau 2 (ou seja, da forma geral ax^2+bx+c).
  • O valor do polinômio em x=1 é 5.
  • O valor da derivada primeira em x=1 é 3.
  • O valor da derivada segunda em x=1 é -4.

Passo 2

Escolhemos a forma geral de um polinômio de grau 2:
p(x)=ax^2+bx+c,
onde a, b e c são números reais desconhecidos que precisamos determinar.
Explicação (mini-aula): a forma ax^2+bx+c representa um polinômio quadrático. As incógnitas a,b,c são os coeficientes que definem o polinômio. Nosso objetivo é usar as três condições dadas para obter três equações lineares em a,b,c e então resolver esse sistema.

Passo 3

Calculemos as derivadas do polinômio para relacioná-las com as condições dadas.
Regra (mini-aula): a derivada de x^n é n x^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando seus termos. Assim:
p'(x)=\frac{d}{dx}(ax^2+bx+c)=2ax+b,
p''(x)=\frac{d}{dx}(p'(x))=\frac{d}{dx}(2ax+b)=2a.
Observação: p''(x) é constante porque a derivada de uma função linear 2ax+b é a constante 2a.

Passo 4

Use a condição sobre a segunda derivada: p''(1)=-4.
Substituindo na expressão de p'':
p''(1)=2a=-4.
Resolvendo para a:
2a=-4\implies a=-2.
Explicação (mini-aula): quando a segunda derivada é dada em um ponto e a segunda derivada é constante (como aqui), basta igualar a essa constante para obter a.

Passo 5

Use a condição sobre a primeira derivada: p'(1)=3.
Sabendo a=-2 e que p'(x)=2ax+b, substituímos x=1:
p'(1)=2a\cdot 1 + b = 3.
Substituindo a=-2:
2(-2)+b=3 \quad\Rightarrow\quad -4 + b = 3.
Resolvendo para b:
b = 3+4 = 7.
Explicação (mini-aula): aqui transformamos a condição sobre a derivada num problema simples de álgebra linear — uma equação em b depois de conhecer a.

Passo 6

Use a condição sobre o valor do polinômio: p(1)=5.
Substituindo x=1 na expressão p(1)=a\cdot1^2 + b\cdot1 + c:
a + b + c = 5.
Substituindo a=-2 e b=7:
-2 + 7 + c = 5 \quad\Rightarrow\quad 5 + c = 5.
Resolvendo para c:
c = 0.
Explicação (mini-aula): com a e b conhecidos, a equação que sobra determina c diretamente.

Passo 7

Agora que temos a=-2, b=7 e c=0, montamos o polinômio:
p(x) = -2x^2 + 7x + 0,
ou simplesmente
p(x) = -2x^2 + 7x.
Verificação rápida (mini-aula): podemos checar as três condições:
p(1) = -2(1)^2 + 7(1) = -2 + 7 = 5,
p'(x)=2ax+b = 2(-2)x + 7 = -4x + 7 \implies p'(1) = -4+7=3,
p''(x) = 2a = 2(-2)=-4 \implies p''(1)=-4.
Tudo confere.

Resposta

p(x)=-2x^{2}+7x

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