Obtenha o polinômio
de grau 2 tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio
de grau
que satisfaz três condições no ponto
:
Informações relevantes dadas:
- Queremos um polinômio de grau
(ou seja, da forma geral ). - O valor do polinômio em
é . - O valor da derivada primeira em
é . - O valor da derivada segunda em
é .
Passo 2
Escolhemos a forma geral de um polinômio de grau
:
onde
,
e
são números reais desconhecidos que precisamos determinar.
Explicação (mini-aula): a forma
representa um polinômio quadrático. As incógnitas
são os coeficientes que definem o polinômio. Nosso objetivo é usar as três condições dadas para obter três equações lineares em
e então resolver esse sistema.
Passo 3
Calculemos as derivadas do polinômio para relacioná-las com as condições dadas.
Regra (mini-aula): a derivada de
é
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando seus termos. Assim:
Observação:
é constante porque a derivada de uma função linear
é a constante
.
Passo 4
Use a condição sobre a segunda derivada:
.
Substituindo na expressão de
:
Resolvendo para
:
Explicação (mini-aula): quando a segunda derivada é dada em um ponto e a segunda derivada é constante (como aqui), basta igualar a essa constante para obter
.
Passo 5
Use a condição sobre a primeira derivada:
.
Sabendo
e que
, substituímos
:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Explicação (mini-aula): aqui transformamos a condição sobre a derivada num problema simples de álgebra linear — uma equação em
depois de conhecer
.
Passo 6
Use a condição sobre o valor do polinômio:
.
Substituindo
na expressão
:
Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Explicação (mini-aula): com
e
conhecidos, a equação que sobra determina
diretamente.
Passo 7
Agora que temos
,
e
, montamos o polinômio:
ou simplesmente
Verificação rápida (mini-aula): podemos checar as três condições:
Tudo confere.