Encontre uma expressão para a derivada n-ésima das funções abaixo:
y=\frac{1}{x+a}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\frac{1}{x+a} e pede uma expressão geral para a derivada n-ésima dessa função.
Informações importantes que temos:
  • A função pode ser reescrita como \displaystyle y=(x+a)^{-1}.
  • Queremos \displaystyle y^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}y(x) para inteiro \displaystyle n\ge 0.
  • A função não está definida em \displaystyle x=-a, então as derivadas fazem sentido apenas para \displaystyle x\neq -a.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas e observar um padrão (usando a regra da potência: a derivada de (x+a)^m é m(x+a)^{m-1} quando m é qualquer número real):
  • Função original ( n=0):
y=(x+a)^{-1}.
  • Primeira derivada ( n=1):
y' = \frac{d}{dx}(x+a)^{-1} = -1\,(x+a)^{-2}.
  • Segunda derivada ( n=2):
y'' = \frac{d}{dx}\big(-1\,(x+a)^{-2}\big) = -1\cdot(-2)\,(x+a)^{-3} = 2\,(x+a)^{-3}.
  • Terceira derivada ( n=3):
y''' = \frac{d}{dx}\big(2\,(x+a)^{-3}\big) = 2\cdot(-3)\,(x+a)^{-4} = -6\,(x+a)^{-4}.
Observando: os coeficientes são -1,\,(-1)(-2),\,(-1)(-2)(-3),\dots e as potências são sempre (x+a)^{-1-n}. Ou seja parece que
y^{(n)} = (-1)(-2)\cdots(-n)\,(x+a)^{-1-n}.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do coeficiente e escrever de forma mais conhecida. Note que
(-1)(-2)\cdots(-n)=(-1)^n(1\cdot 2\cdots n)=(-1)^n n!.
Portanto a fórmula sugerida é
y^{(n)} = (-1)^n n!\,(x+a)^{-1-n}.
Verificamos que para n=0 essa fórmula dá (-1)^0 0! (x+a)^{-1}=(x+a)^{-1}, ou seja, recupera a função original.

Passo 4

Agora provamos a fórmula por indução (prova formal, útil para uma prova de exame):
Base: para n=0 temos y^{(0)}=y=(x+a)^{-1}, e a fórmula dá (-1)^0 0! (x+a)^{-1}=(x+a)^{-1}. OK.
Passo indutivo: suponha que para algum n\ge 0
y^{(n)} = (-1)^n n!\,(x+a)^{-1-n}.
Tomamos derivada para obter y^{(n+1)}:
y^{(n+1)}=\frac{d}{dx}y^{(n)} = (-1)^n n!\,\frac{d}{dx}(x+a)^{-1-n}.
Aplicando a regra da potência:
\frac{d}{dx}(x+a)^{-1-n}=(-1-n)\,(x+a)^{-2-n}.
Multiplicando:
y^{(n+1)} = (-1)^n n!(-1-n)\,(x+a)^{-2-n}.
Agora reorganizamos (-1)^n(-1-n)=(-1)^{n+1}(n+1) e n!(n+1)=(n+1)!. Assim
y^{(n+1)} = (-1)^{n+1}(n+1)!\,(x+a)^{-1-(n+1)}.
Isto mostra que, se a fórmula vale para n, vale para n+1. Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro \displaystyle n\ge 0.

Passo 5

Breve explicação dos símbolos e domínio:
  • \displaystyle n! (fatorial) significa 1\cdot 2\cdot 3\cdots n para n\ge 1 e \displaystyle 0!=1.
  • A fórmula vale para todo \displaystyle n\in\{0,1,2,\dots\} e para todo \displaystyle x\neq -a, porque em x=-a a função original é indefinida.
    Exemplo numérico rápido: para \displaystyle n=4 a fórmula dá
y^{(4)} = (-1)^4 4!\,(x+a)^{-5}=24\,(x+a)^{-5},
que coincide se calcularmos derivadas sucessivas manualmente.

Resposta

y^{(n)}(x)=(-1)^n n!\,(x+a)^{-n-1}

Exercícios relacionados