Encontre uma expressão para a derivada n-ésima das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma expressão geral para a derivada
-ésima dessa função.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- A função pode ser reescrita como
. - Queremos
para inteiro . - A função não está definida em
, então as derivadas fazem sentido apenas para .
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas e observar um padrão (usando a regra da potência: a derivada de
é
quando
é qualquer número real):
- Função original (
):
- Primeira derivada (
):
- Segunda derivada (
):
- Terceira derivada (
):
Observando: os coeficientes são
e as potências são sempre
. Ou seja parece que
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do coeficiente e escrever de forma mais conhecida. Note que
Portanto a fórmula sugerida é
Verificamos que para
essa fórmula dá
, ou seja, recupera a função original.
Passo 4
Agora provamos a fórmula por indução (prova formal, útil para uma prova de exame):
Base: para
temos
, e a fórmula dá
. OK.
Passo indutivo: suponha que para algum
Tomamos derivada para obter
:
Aplicando a regra da potência:
Multiplicando:
Agora reorganizamos
e
. Assim
Isto mostra que, se a fórmula vale para
, vale para
. Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro
.
Passo 5
Breve explicação dos símbolos e domínio:
-
(fatorial) significa para e . - A fórmula vale para todo
e para todo , porque em a função original é indefinida.
Exemplo numérico rápido: paraa fórmula dá
que coincide se calcularmos derivadas sucessivas manualmente.