Determine o valor de
cos (2 arctg(43))+sen(2 arctg(43))
Utilize a calculadora cientifica pra te auxiliar.
A) 17 / 25
B) 4 / 25
C) 24 / 25
D) 28 / 25
E) 31 / 25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão trigonométrica . Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente as fórmulas de ângulo duplo (duas vezes o ângulo) e entender o que é a função arctangente ( ). Vamos precisar também de uma calculadora científica para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa theta = arctan(43) . A função arctangente nos dá um ângulo cujo tangente é . Então, vamos chamar esse ângulo de :

Passo 3

Sabemos que:
tan(theta) = 43
Para encontrar e , precisamos primeiro encontrar os valores de e . Vamos usar um triângulo retângulo para facilitar.

Passo 4

Imagine um triângulo retângulo onde o cateto oposto a h = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 é 4 e o cateto adjacente é 3. O comprimento da hipotenusa pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras:

Passo 5

Agora, podemos encontrar cos(theta) = cateto adjacentehipotenusa = 35 e sin(theta) = cateto opostohipotenusa = 45 :

Passo 6

Vamos usar as fórmulas de ângulo duplo para cos(2theta) = cos^2(theta) - sin^2(theta) e sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta) :

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
cos(2theta) = (35)^2 - (45)^2 = 925 - 1625 = -725
sin(2theta) = 2 times 45 times 35 = 2 times 1225 = 2425

Passo 8

Agora, somamos cos(2theta) + sin(2theta) = -725 + 2425 = 1725 e :

Resposta

A resposta correta é A) .

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