Integrar integral0^pi2 tg^3(x2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi2tan^3l(tfracx2r),dx. É conteúdo de integração de funções trigonométricas, em que vamos usar substituição simples e decomposição de potências de tan.

Passo 2

Fazemos a substituição u=tfracx2, então x=2u e dx=2,du. Quando x=0, u=0; quando x=tfracpi2, u=tfracpi4. A integral vira
2integral0^pi4tan^3u,du

Passo 3

Usamos a identidade tan^3u=tan u,(sec^2u-1). Assim
integraltan^3u,du=integral(tan usec^2u-tan u),du
Para a primeira parte, seja w=tan u com dw=sec^2u,du, daí integraltan usec^2u,du=tfracw^22=tfractan^2u2. Para a segunda, integraltan u,du=-ln|cos u|.

Passo 4

Somando as partes temos
integraltan^3u,du=tan^2u2+ln|cos u|+C
Voltando à integral original e multiplicando por 2, a primitiva é
F(u)=tan^2u+2ln|cos u|
Avalia-se de 0 a tfracpi4:
Fl(tfracpi4r)=1+2lnl(tfracraiz22r)=1-ln2,
F(0)=0+2ln1=0

Resposta

1-\ln2

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