Determine seu valor para:
1-cos (x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
lim(x,y)to(0,0)1-cosl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O conteúdo utilizado será mudança para coordenadas polares e expansão em série de Taylor de cos.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares, definindo
r^2=x^2+y^2, r>=0
Assim a expressão fica
1-cosl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =1-cosl(r^2r)r^2

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de cos t em torno de t=0:
cos t = 1 - t^22 + o(t^2)(tto0)
Tomando t=r^2, temos
cosl(r^2r) =1 - (r^2)^22 + o(r^4) =1 - r^42 + o(r^4)
Logo o numerador vira
1 - cosl(r^2r) =r^42 + o(r^4),
e a fração completa é
r^42 + o(r^4)r^2 =r^22 + o(r^2)

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0) temos rto0, portanto
r^22 + o(r^2);longrightarrow;0

Resposta

0

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