Resolva o PVI: d yd t=-y^2 sin t, y(0)=-1 / 4 ; deixando bem claras:
(a) (1,0) A solução geral da EDO separável.
(b) (2,0) A solução particular do PVI.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
dydt = -y^2sin t
e em seguida encontrar a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=-tfrac14. O conteúdo é Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis: vamos isolar os termos em y de um lado e em t do outro, integrar e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dyy^2 = -sin t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral -sin t,dt

Passo 4

As integrais dão
-,y^-1 = cos t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral
y(t) = -1cos t + C

Passo 6

Para a solução particular aplicamos y(0)=-tfrac14:
-1cos 0 + C = -11 + C = -14 Longrightarrow 1 + C = 4 Longrightarrow C = 3

Passo 7

Logo, a solução do PVI é
y(t) = -1cos t + 3

Resposta

(a) A solução geral é
y(t) = -1cos t + C
(b) A solução particular com y(0)=-tfrac14 é
y(t) = -1cos t + 3

Exercícios relacionados