Resolva o PVI linear: d yd t=-2 y+2 t e^-2 t, y(0)=4 / e^2 ; deixando bem claras:
(a) (1,0) A expressão do fator integrante.
(b) (2,0) A solução geral da EDO linear.
(c) (1,0) A solução particular do PVI.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
dydt = -2,y + 2,t,e^-2t, y(0)=4e^2
Trata-se de uma EDO linear de 1º ordem. Vamos colocá-la na forma padrão
dydt + 2,y = 2,t,e^-2t,
para em seguida encontrar o fator integrante, a solução geral e, por fim, a solução que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = expl(integral 2,dtr) = e^2t

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=e^2t, obtemos
e^2tdydt + 2,e^2ty = 2,t
O lado esquerdo é a derivada do produto e^2ty, logo
ddtl(e^2tyr)=2,t

Passo 4

Integramos em t:
e^2ty = integral 2,t,dt = t^2 + C,
onde C é constante arbitrária. Assim a solução geral é
y(t) = e^-2tl(t^2 + Cr)

Passo 5

Para achar a solução particular do PVI, impomos y(0)=4/e^2. Em t=0:
y(0) = e^0l(0^2 + Cr) = C = 4e^2
Logo C=4e^-2 e a solução do PVI fica
y(t) = e^-2tl(t^2 + 4e^-2r)

Resposta

(a) mu(t)=e^2t\n
(b) y(t)=e^-2tl(t^2+Cr)\n
(c) y(t)=e^-2tl(t^2+4e^-2r)

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