Determine o valor de
para que as curvas dadas por
e
sejam tangentes em
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas e informa o ponto onde devem ser tangentes:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - Ponto de tangência: em
.
O que o problema pede:
- Determinar o valor de
de modo que as duas curvas sejam tangentes em .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O valor de
onde ocorre a tangência é . - As expressões das funções dependem de
apenas na primeira curva.
Passo 2
Entender o que significa "ser tangentes em
". Vou explicar isso com calma: duas curvas são tangentes num ponto se, naquele ponto,
- elas têm a mesma ordenada (mesmo valor de
), isto é, os pontos coincidem; e - elas têm a mesma inclinação (mesma derivada), isto é, as retas tangentes a cada curva nesse ponto têm a mesma inclinação.
Então precisaremos forçar duas condições avaliadas em
:
- igualdade de valores:
; - igualdade de derivadas: derivada da primeira avaliada em
igual à derivada da segunda avaliada em .
Agora vamos calcular as derivadas.
Passo 3
Calcular a derivada da primeira curva
.
Regra usada (cadeia/potência): se
então
. Aqui
. Portanto
Calcular a derivada da segunda curva
. Regra usada: derivada do cosseno é o negativo do seno. Logo
Avaliar ambas em
:
Sabendo que
, temos
.
Passo 4
Impor igualdade das derivadas em
:
Resolver essa equação:
Passo 5
Verificar a condição de igualdade de valores (coincidência dos pontos) com
.
Calcular
usando
:
Calcular
:
Como
, a condição de coincidência dos pontos também está satisfeita. Portanto
garante tangência.
Passo 6
Observação didática curta e prática: para verificar tangência em um ponto conhecido de abscissa
basta igualar as derivadas (mesma inclinação) e verificar que as imagens das funções em
também coincidem. Não é necessário usar derivadas de ordem superior. Um exemplo simples: a parábola
é tangente à reta
em
porque
(mesma inclinação que a reta) e
(mesmo ponto).