Determine o valor de a para que as curvas dadas por y=-1-(x-a)^{2} e y=\cos (x) sejam tangentes em x=\pi.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas e informa o ponto onde devem ser tangentes:
  • Curva 1: y=-1-(x-a)^{2}.
  • Curva 2: y=\cos(x).
  • Ponto de tangência: em x=\pi.
O que o problema pede:
  • Determinar o valor de a de modo que as duas curvas sejam tangentes em x=\pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O valor de x onde ocorre a tangência é x=\pi.
  • As expressões das funções dependem de a apenas na primeira curva.

Passo 2

Entender o que significa "ser tangentes em x=\pi". Vou explicar isso com calma: duas curvas são tangentes num ponto se, naquele ponto,
  1. elas têm a mesma ordenada (mesmo valor de y), isto é, os pontos coincidem; e
  2. elas têm a mesma inclinação (mesma derivada), isto é, as retas tangentes a cada curva nesse ponto têm a mesma inclinação.
Então precisaremos forçar duas condições avaliadas em x=\pi:
  • igualdade de valores: -1-(\pi-a)^{2}=\cos(\pi);
  • igualdade de derivadas: derivada da primeira avaliada em \pi igual à derivada da segunda avaliada em \pi.
Agora vamos calcular as derivadas.

Passo 3

Calcular a derivada da primeira curva y_1(x)=-1-(x-a)^{2}.
Regra usada (cadeia/potência): se u(x)=(x-a) então (u^2)'=2u\cdot u'. Aqui u' = 1. Portanto
y_1'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[-1-(x-a)^2\bigr]= -2(x-a).
Calcular a derivada da segunda curva y_2(x)=\cos(x). Regra usada: derivada do cosseno é o negativo do seno. Logo
y_2'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Avaliar ambas em x=\pi:
y_1'(\pi) = -2(\pi-a), \qquad y_2'(\pi) = -\sin(\pi).
Sabendo que \sin(\pi)=0, temos y_2'(\pi)=0.

Passo 4

Impor igualdade das derivadas em x=\pi:
-2(\pi-a)=0.
Resolver essa equação:
\pi-a=0 \quad\Rightarrow\quad a=\pi.

Passo 5

Verificar a condição de igualdade de valores (coincidência dos pontos) com a=\pi.
Calcular y_1(\pi) usando a=\pi:
y_1(\pi)=-1-(\pi-\pi)^{2}=-1-0=-1.
Calcular y_2(\pi):
y_2(\pi)=\cos(\pi)=-1.
Como y_1(\pi)=y_2(\pi)=-1, a condição de coincidência dos pontos também está satisfeita. Portanto a=\pi garante tangência.

Passo 6

Observação didática curta e prática: para verificar tangência em um ponto conhecido de abscissa x_0 basta igualar as derivadas (mesma inclinação) e verificar que as imagens das funções em x_0 também coincidem. Não é necessário usar derivadas de ordem superior. Um exemplo simples: a parábola y=x^{2} é tangente à reta y=0 em x=0 porque y'(0)=0 (mesma inclinação que a reta) e y(0)=0 (mesmo ponto).

Resposta

a=\pi

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