Encontre a derivada da função onde ela existir:
h(x)=\frac{2 \operatorname{sen}^{2}(x)}{2 \operatorname{sec} ^{2}(x)-\tan ^{2}(x)-1}-x
e calcule h^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\frac{2\operatorname{sen}^{2}(x)}{2\operatorname{sec}^{2}(x)-\tan^{2}(x)-1}-x
e pede duas coisas:
  • encontrar a derivada h'(x) nos pontos onde ela existir;
  • calcular h'\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função usa as funções trigonométricas \operatorname{sen}, \operatorname{sec} e \tan.
  • Pontos em que \operatorname{sec} ou \tan não são definidos (ou seja, onde \cos x=0) precisam ser tratados: a expressão original está escrita em termos de \operatorname{sec} e \tan, então inicialmente só faz sentido para x tais que \cos x\neq 0.

Passo 2

Vamos simplificar a fração usando identidades trigonométricas para tornar a derivação mais simples e direta.
Identidade útil (sempre verdadeira quando \tan e \operatorname{sec} estão definidos):
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x).
Substituindo em 2\operatorname{sec}^{2}(x)-\tan^{2}(x)-1 obtemos:
2\operatorname{sec}^{2}(x)-\tan^{2}(x)-1 =2(1+\tan^{2}(x))-\tan^{2}(x)-1 =2+2\tan^{2}(x)-\tan^{2}(x)-1 =1+\tan^{2}(x).
Mas 1+\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x). Portanto, para os x em que as expressões estão definidas,
2\operatorname{sec}^{2}(x)-\tan^{2}(x)-1=\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 3

Substituindo essa simplificação na expressão de h(x) (válida quando \cos x\neq 0), obtemos
h(x)=\frac{2\operatorname{sen}^{2}(x)}{\operatorname{sec}^{2}(x)}-x.
Como \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}(x)}=\cos^{2}(x), isto é
h(x)=2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)-x.
Usando \operatorname{sen}(x)\cos(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x), temos
2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)=2\bigl(\operatorname{sen}(x)\cos(x)\bigr)^{2} =2\left(\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)\right)^{2} =\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(2x).
Portanto, para \cos x\neq 0,
h(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(2x)-x.
Observação sobre domínio: a simplificação algébrica foi feita usando identidades válidas quando \tan e \operatorname{sec} estão definidos, isto é, para x tais que \cos x\neq 0. Assim a expressão simplificada representa a mesma função nesses x. (A forma simplificada estende-se por continuidade a outros pontos, mas como a função original foi dada em termos de \operatorname{sec} e \tan, consideramos domínio inicial \cos x\neq 0.)

Passo 4

Agora derivamos h(x) (para x com \cos x\neq 0) usando regra da cadeia.
Recordando a regra da cadeia e uma identidade:
  • Se F(x)=\operatorname{sen}^{2}(u(x)), então
F'(x)=2\operatorname{sen}(u(x))\cos(u(x))\cdot u'(x).
  • E 2\operatorname{sen}(u)\cos(u)=\operatorname{sen}(2u).
Aplique isso com u(x)=2x. Começando por derivar \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(2x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(2x)\right) =\frac{1}{2}\cdot\bigl(2\operatorname{sen}(2x)\cos(2x)\cdot(2)\bigr).
Explicando cada fator:
  • o \frac{1}{2} vem do coeficiente externo;
  • 2\operatorname{sen}(2x)\cos(2x) é a derivada de \operatorname{sen}^{2}(2x) em relação a 2x;
  • o último (2) é u'(x) porque u(x)=2x.
Agora simplificando:
\frac{1}{2}\cdot\bigl(2\operatorname{sen}(2x)\cos(2x)\cdot 2\bigr) =\frac{1}{2}\cdot\bigl(4\operatorname{sen}(2x)\cos(2x)\bigr) =2\operatorname{sen}(2x)\cos(2x).
Usando a identidade \;2\operatorname{sen}(2x)\cos(2x)=\operatorname{sen}(4x)\;, obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(2x)\right)=\operatorname{sen}(4x).
Finalmente, derivando -x temos -1. Portanto, para x com \cos x\neq 0,
h'(x)=\operatorname{sen}(4x)-1.
Comentário sobre existência: a derivada foi obtida a partir da expressão simplificada válida onde a função original está definida, ou seja para x tal que \cos x\neq 0. Assim a expressão h'(x)=\operatorname{sen}(4x)-1 descreve a derivada nos pontos onde ela existe (onde a função original foi definida).

Passo 5

Calcule h'\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right). Como \cos\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\neq 0, podemos usar a fórmula encontrada:
h'\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(4\cdot\frac{\pi}{8}\right)-1 =\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-1.
E \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, logo
h'\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=1-1=0.

Resposta

h'(x)=\operatorname{sen}(4x)-1, para x tal que \cos x\neq 0.
h'\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=0

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