Encontre a derivada da função onde ela existir:
e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- encontrar a derivada
nos pontos onde ela existir; - calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função usa as funções trigonométricas
, e . - Pontos em que
ou não são definidos (ou seja, onde ) precisam ser tratados: a expressão original está escrita em termos de e , então inicialmente só faz sentido para tais que .
Passo 2
Vamos simplificar a fração usando identidades trigonométricas para tornar a derivação mais simples e direta.
Identidade útil (sempre verdadeira quando
e
estão definidos):
Substituindo em
obtemos:
Mas
. Portanto, para os
em que as expressões estão definidas,
Passo 3
Substituindo essa simplificação na expressão de
(válida quando
), obtemos
Como
, isto é
Usando
, temos
Portanto, para
,
Observação sobre domínio: a simplificação algébrica foi feita usando identidades válidas quando
e
estão definidos, isto é, para
tais que
. Assim a expressão simplificada representa a mesma função nesses
. (A forma simplificada estende-se por continuidade a outros pontos, mas como a função original foi dada em termos de
e
, consideramos domínio inicial
.)
Passo 4
Agora derivamos
(para
com
) usando regra da cadeia.
Recordando a regra da cadeia e uma identidade:
- Se
, então
- E
.
Aplique isso com
. Começando por derivar
:
Explicando cada fator:
- o
vem do coeficiente externo; -
é a derivada de em relação a ; - o último
é porque .
Agora simplificando:
Usando a identidade
, obtemos
Finalmente, derivando
temos
. Portanto, para
com
,
Comentário sobre existência: a derivada foi obtida a partir da expressão simplificada válida onde a função original está definida, ou seja para
tal que
. Assim a expressão
descreve a derivada nos pontos onde ela existe (onde a função original foi definida).
Passo 5
Calcule
. Como
, podemos usar a fórmula encontrada:
E
, logo