- (UFRJ - RJ - Adaptada) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 m (o dos minutos) e 1 m (o das horas). A distância, em m, entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas é
Lembre-se de que às 4 horas o ângulo entre os ponteiros mede
e considere
.
a)
.
b)
.
c) 2 .
d) 3 .
e) 7 .
Lembre-se de que às 4 horas o ângulo entre os ponteiros mede
a)
b)
c) 2 .
d) 3 .
e) 7 .
Passo 1
O enunciado pede a distância entre as extremidades (pontas) dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas. As informações dadas são:
- comprimento do ponteiro dos minutos:
m (do centro até a extremidade); - comprimento do ponteiro das horas:
m (do centro até a extremidade); - ângulo entre os ponteiros às 4 horas:
(isto foi informado no enunciado); - valores trigonométricos fornecidos:
, e .
A pergunta é: qual é a distância (em metros) entre as extremidades dos dois ponteiros? As alternativas são:.
Passo 2
Vamos interpretar geometricamente. As extremidades dos ponteiros e o centro do relógio formam um triângulo cujo dois lados são os comprimentos dos ponteiros e o ângulo entre esses dois lados é
. Denotando:
-
= distância entre as pontas (o que queremos), -
= comprimento do ponteiro dos minutos , -
= comprimento do ponteiro das horas ,
e o ângulo entree por .
Para triângulos em que se conhece dois lados e o ângulo entre eles, a fórmula adequada é a lei dos cossenos. Vou explicar essa fórmula de forma simples.
A lei dos cossenos diz que, para um triângulo com lados
,
,
e ângulo
entre os lados
e
, vale:
O que cada símbolo significa:
-
é o lado oposto ao ângulo formado por e (neste problema, é a distância entre as pontas); -
e são os dois lados adjacentes ao ângulo ; -
é o cosseno do ângulo entre e .
Intuição rápida: é uma generalização do Teorema de Pitágoras que inclui o termopara ajustar quando o triângulo não é retângulo.
Passo 3
Agora aplicamos a lei dos cossenos ao nosso triângulo, com
,
e
. Substituindo na fórmula:
Usamos o valor fornecido
. Então o termo
fica:
Passo 4
Calculemos passo a passo:
O produto é
Portanto
Tomando raiz quadrada (o comprimento é positivo),
Passo 5
Comparando com as alternativas fornecidas, a distância entre as extremidades dos ponteiros é
, que corresponde à alternativa (b).