1. (UFRJ - RJ - Adaptada) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 m (o dos minutos) e 1 m (o das horas). A distância, em m, entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas é
    Lembre-se de que às 4 horas o ângulo entre os ponteiros mede 120^{\circ} e considere \operatorname{sen} 120^{\circ}=0,86 ; \cos 120^{\circ}=-0,5 ; \operatorname{tg} 120^{\circ}=-1,73.
    a) \sqrt{3}.
    b) \sqrt{7}.
    c) 2 .
    d) 3 .
    e) 7 .

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as extremidades (pontas) dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas. As informações dadas são:
  • comprimento do ponteiro dos minutos: \,2 m (do centro até a extremidade);
  • comprimento do ponteiro das horas: \,1 m (do centro até a extremidade);
  • ângulo entre os ponteiros às 4 horas: \,120^\circ (isto foi informado no enunciado);
  • valores trigonométricos fornecidos: \operatorname{sen} 120^\circ=0,86, \cos 120^\circ=-0,5 e \operatorname{tg} 120^\circ=-1,73.
    A pergunta é: qual é a distância (em metros) entre as extremidades dos dois ponteiros? As alternativas são: \sqrt{3},\\ \sqrt{7},\\\ 2,\\\ 3,\\\ 7.

Passo 2

Vamos interpretar geometricamente. As extremidades dos ponteiros e o centro do relógio formam um triângulo cujo dois lados são os comprimentos dos ponteiros e o ângulo entre esses dois lados é \,120^\circ. Denotando:
  • a = distância entre as pontas (o que queremos),
  • b = comprimento do ponteiro dos minutos =2,
  • c = comprimento do ponteiro das horas =1,
    e o ângulo entre b e c por \theta=120^\circ.
Para triângulos em que se conhece dois lados e o ângulo entre eles, a fórmula adequada é a lei dos cossenos. Vou explicar essa fórmula de forma simples.
A lei dos cossenos diz que, para um triângulo com lados \,a, \,b, \,c e ângulo \theta entre os lados b e c, vale:
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta.
O que cada símbolo significa:
  • a é o lado oposto ao ângulo formado por b e c (neste problema, é a distância entre as pontas);
  • b e c são os dois lados adjacentes ao ângulo \theta;
  • \cos\theta é o cosseno do ângulo entre b e c.
    Intuição rápida: é uma generalização do Teorema de Pitágoras que inclui o termo -2bc\cos\theta para ajustar quando o triângulo não é retângulo.

Passo 3

Agora aplicamos a lei dos cossenos ao nosso triângulo, com b=2, c=1 e \theta=120^\circ. Substituindo na fórmula:
a^{2}=2^{2}+1^{2}-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 120^\circ.
Usamos o valor fornecido \cos 120^\circ=-0{,}5. Então o termo -2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 120^\circ fica:
-2\cdot 2\cdot 1\cdot (-0{,}5).

Passo 4

Calculemos passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 1^{2}=1.
O produto é
-2\cdot 2\cdot 1\cdot (-0{,}5)= -4\cdot(-0{,}5)=+2.
Portanto
a^{2}=4+1+2=7.
Tomando raiz quadrada (o comprimento é positivo),
a=\sqrt{7}.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a distância entre as extremidades dos ponteiros é \sqrt{7}, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

\sqrt{7}

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