Resolva a seguinte inequação trigonométrica:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
isto é, encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa desigualdade. Informação dada: a desigualdade envolve as funções seno e cosseno duplo avaliadas em
. Não há restrição explícita no enunciado sobre o domínio, então vamos considerar
.
Passo 2
Uma técnica comum é escrever ambos os lados da desigualdade em função da mesma função trigonométrica. Vou usar a identidade
que vem de
e da relação
. Essa identidade vale para todo
. Substituindo na desigualdade original obtemos uma inequação em
.
Passo 3
Substituindo
por
temos
Colocando tudo em um lado e definindo
(isso facilita a manipulação algébrica), obtemos a inequação quadrática
com a observação importante de que
representa
e, portanto, tem domínio restrito:
.
Passo 4
Agora resolvemos a inequação quadrática. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
Calculo do discriminante:
Portanto
. As raízes são
Isso dá as duas raízes
Passo 5
Como o coeficiente quadrático é
, o polinômio
é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro; em símbolos,
Mas lembrando que
e que
, a parte
não contém valores admissíveis. Assim, dentro do domínio possível de
a condição reduz-se a
Passo 6
Vamos resolver a inequação trigonométrica
. Primeiro encontramos os pontos onde
. No intervalo principal
essas soluções são
porque
e a simetria do seno dá a outra solução em
. Como
tem período
, as soluções exatas para igualdade são
Para decidir onde
, observamos o comportamento do seno no intervalo
: ele é positivo e atinge valores maiores que
entre
e
. Portanto, em cada período
,
(Pode-se checar com um exemplo: para
temos
, e
está entre
e
.)
Passo 7
Concluímos que a solução da inequação original
é exatamente o conjunto de
tais que
, ou seja, a união dos intervalos abertos obtidos acima para todos os inteiros
.