Resolva a seguinte inequação trigonométrica: \operatorname{sen} \mathrm{x}>\cos 2 \mathrm{x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
\sin x > \cos 2x,
isto é, encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade. Informação dada: a desigualdade envolve as funções seno e cosseno duplo avaliadas em x. Não há restrição explícita no enunciado sobre o domínio, então vamos considerar x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Uma técnica comum é escrever ambos os lados da desigualdade em função da mesma função trigonométrica. Vou usar a identidade
\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x,
que vem de \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x e da relação \cos^2 x = 1-\sin^2 x. Essa identidade vale para todo x\in\mathbb{R}. Substituindo na desigualdade original obtemos uma inequação em \sin x.

Passo 3

Substituindo \cos 2x por 1-2\sin^2 x temos
\sin x > 1 - 2\sin^2 x.
Colocando tudo em um lado e definindo s=\sin x (isso facilita a manipulação algébrica), obtemos a inequação quadrática
2s^2 + s - 1 > 0,
com a observação importante de que s representa \sin x e, portanto, tem domínio restrito: -1 \le s \le 1.

Passo 4

Agora resolvemos a inequação quadrática. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
2s^2 + s - 1 = 0.
Calculo do discriminante:
\Delta = 1^2 - 4\cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
Portanto \sqrt{\Delta}=3. As raízes são
s = \frac{-1 \pm 3}{4}.
Isso dá as duas raízes
s_1 = \frac{-1-3}{4} = -1 \qquad\text{e}\qquad s_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Como o coeficiente quadrático é 2>0, o polinômio 2s^2+s-1 é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro; em símbolos,
2s^2+s-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad s\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{1}{2},\infty\right).
Mas lembrando que s=\sin x e que \sin x\in[-1,1], a parte (-\infty,-1) não contém valores admissíveis. Assim, dentro do domínio possível de \sin x a condição reduz-se a
\sin x > \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Vamos resolver a inequação trigonométrica \sin x > \tfrac{1}{2}. Primeiro encontramos os pontos onde \sin x = \tfrac{1}{2}. No intervalo principal [0,2\pi) essas soluções são
x = \frac{\pi}{6}\quad\text{e}\quad x = \frac{5\pi}{6},
porque \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2} e a simetria do seno dá a outra solução em [0,\pi]. Como \sin x tem período 2\pi, as soluções exatas para igualdade são
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{e}\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Para decidir onde \sin x > \tfrac{1}{2}, observamos o comportamento do seno no intervalo [0,\pi]: ele é positivo e atinge valores maiores que \tfrac{1}{2} entre \frac{\pi}{6} e \frac{5\pi}{6}. Portanto, em cada período 2\pi,
\sin x > \tfrac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Pode-se checar com um exemplo: para x=\frac{\pi}{2} temos \sin\frac{\pi}{2}=1>\tfrac{1}{2}, e \frac{\pi}{2} está entre \frac{\pi}{6} e \frac{5\pi}{6}.)

Passo 7

Concluímos que a solução da inequação original \sin x > \cos 2x é exatamente o conjunto de x tais que \sin x>\tfrac{1}{2}, ou seja, a união dos intervalos abertos obtidos acima para todos os inteiros k.

Resposta

x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)

Exercícios relacionados