Exercício 7. Discuta, segundo os valores de m, a existência de soluções para o sistema:
l m x+y=1 x+m y=1

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro :
O conteúdo aqui é estudar existência e unicidade de soluções usando o determinante da matriz dos coeficientes e, quando possível, aplicar a regra de Cramer.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
De<a = m & 1 1 & m = mcdot m - 1cdot1 = m^2 - 1
Se De<a neq 0, o sistema tem solução única; se De<a = 0, pode ter infinitas ou nenhuma solução, dependendo da consistência.

Passo 3

Caso De<a neq 0, ou seja m^2 - 1 neq 0 (isto é, m neq pm1), aplicamos a regra de Cramer. O numerador para x é
De<ax = 1 & 1 1 & m = 1cdot m - 1cdot1 = m - 1,
e para y:
De<ay = m & 1 1 & 1 = mcdot1 - 1cdot1 = m - 1
Logo
x = De<axDe<a = m-1m^2-1 = 1m+1, y = De<ayDe<a = m-1m^2-1 = 1m+1

Passo 4

Caso
as duas equações coincidem, então há infinitas soluções do tipo
real.

Passo 5

Caso
A segunda equação é a negativa da primeira, mas com sinal trocado na constante, o que leva a uma contradição (por exemplo somando as duas dá (0 = 2]). Logo não há solução.

Resposta

Para m neq pm1 existe solução única
x = y = 1m+1
Para m = 1 há infinitas soluções l(t,,1-tr).
Para m = -1 não há solução.

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