Determine o valor da expressão dada:
\left(3^{2}\\right)^{\frac{5}{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão que devemos avaliar: \left(3^{2}\right)^{\frac{5}{2}}. Ou seja, calcular o valor numérico dessa potência composta.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade fundamental de potências que vamos usar: para qualquer base a e expoentes b e c,
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}.
Aqui a=3, b=2 e c=\dfrac{5}{2}. Isso significa que podemos multiplicar os expoentes em vez de calcular a potência interna primeiro se for mais prático.

Passo 3

Aplicando a propriedade acima:
\left(3^{2}\right)^{\frac{5}{2}}=3^{2\cdot\frac{5}{2}}.
Agora calculamos o produto dos expoentes:
2\cdot\frac{5}{2}=\frac{2\cdot5}{2}=\frac{10}{2}=5.

Passo 4

Portanto a expressão fica simplesmente
3^{5}.
Agora avalio 3^{5}. Isso significa multiplicar 3 por si mesmo cinco vezes:
3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3.

Passo 5

Calculo passo a passo (sem pular etapas):
3\cdot3=9,
9\cdot3=27,
27\cdot3=81,
81\cdot3=243.
Logo 3^{5}=243.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil para provas): poderíamos ter feito primeiro 3^{2}=9 e depois calculado 9^{5/2}. Lembrando que um expoente fracionário m/n significa \left(\sqrt[n]{\;a\;}\right)^{m}. Assim
9^{\frac{5}{2}}=\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{5}=(\sqrt{9})^{5}=3^{5}=243,
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

243

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