Se \tan x=2 e x está no primeiro quadrante, determine o valor de:
\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \tan x = 2.
  • x está no primeiro quadrante (logo \sin x>0 e \cos x>0).
O que se pede:
  • Calcular o valor da expressão \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): a tangente é a razão entre seno e cosseno, isto é \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. A partir disso podemos obter \sin x e \cos x em termos de \tan x usando a identidade pitagórica \sin^2 x+\cos^2 x=1. Vou fazer isso passo a passo (é uma técnica que dá para usar em prova sem desenhar triângulo, mas equivale geometricamente a construir um triângulo retângulo).

Passo 3

Partindo de \tan x = 2 e escrevendo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
\sin x = \tan x\cdot \cos x.
Substituindo na identidade \sin^2 x+\cos^2 x=1 obtemos
(\tan^2 x)\cos^2 x + \cos^2 x = 1.
Colocando \cos^2 x em evidência:
\cos^2 x\,(1+\tan^2 x)=1.
Daí
\cos^2 x=\frac{1}{1+\tan^2 x}.
Como x está no primeiro quadrante, \cos x>0, então
\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 x}}.

Passo 4

Agora substitui \tan x=2 em \cos x:
\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
E usando \sin x=\tan x\cdot\cos x,
\sin x = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Observação (geometria rápida): isso corresponde a um triângulo retângulo com catetos 2 e 1 e hipotenusa \sqrt{5}.

Passo 5

Agora calculamos a expressão pedida substituindo \sin x e \cos x:
\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} = \frac{\dfrac{2}{\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{\dfrac{2}{\sqrt{5}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}.
Fatorando \dfrac{1}{\sqrt{5}} no numerador e no denominador:
\frac{\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2+1)}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2-1)} = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1}=3.

Resposta

3

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