Se
e
está no primeiro quadrante, determine o valor de:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
-
está no primeiro quadrante (logo e ).
O que se pede:
- Calcular o valor da expressão
.
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática): a tangente é a razão entre seno e cosseno, isto é
. A partir disso podemos obter
e
em termos de
usando a identidade pitagórica
. Vou fazer isso passo a passo (é uma técnica que dá para usar em prova sem desenhar triângulo, mas equivale geometricamente a construir um triângulo retângulo).
Passo 3
Partindo de
e escrevendo
, temos
Substituindo na identidade
obtemos
Colocando
em evidência:
Daí
Como
está no primeiro quadrante,
, então
Passo 4
Agora substitui
em
:
E usando
,
Observação (geometria rápida): isso corresponde a um triângulo retângulo com catetos
e
e hipotenusa
.
Passo 5
Agora calculamos a expressão pedida substituindo
e
:
Fatorando
no numerador e no denominador: