Resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A equação envolve a função cosseno aplicada ao ângulo
. - Deve-se listar todas as soluções
que pertencem ao intervalo .
Passo 2
Reduzir o problema mudando a variável para simplificar. Defino
Assim a equação fica
e depois voltarei à variável
usando
. Observação sobre o intervalo: como
varia em
, então
varia em
Portanto devo procurar todas as soluções
de
no intervalo
.
Passo 3
Resolver
. No círculo trigonométrico,
ocorre onde o ângulo forma com o eixo
o ângulo
em módulo. Assim, as soluções gerais da equação
são
Explicação curta: o cosseno tem período
e, num período, assume o valor
em dois ângulos simétricos em relação ao eixo
:
e
.
Passo 4
Agora imposto o intervalo
e listo as soluções obtidas por
para valores de
que gerem ângulos nesse intervalo.
Faço isso separando as duas famílias:
Família 1:
.
- Para
: (está em ). - Para
: (está em ). - Para
: (fora do intervalo). - Para
: (fora).
Logo da família 1 obtém-se
e
.
Família 2:
.
- Para
: (fora). - Para
: (está em ). - Para
: (está em ). - Para
: (fora).
Logo da família 2 obtém-se
e
.
Portanto todas as soluções
em
são
Passo 5
Volto para
usando
. Para cada
da lista, calculo
:
Verificação do intervalo: todos esses valores satisfazem
.
Passo 6
Checo rapidamente cada solução substituindo na equação original para garantir que não houve erro:
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , que é equivalente a módulo , logo cosseno é . - Para
: , que é equivalente a módulo , logo cosseno é .
Tudo confere.