Resolva a equação:
\cos (2 x)=\frac{1}{2}, \quad 0 \leq x<2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\cos(2x)=\frac{1}{2}
no intervalo 0 \leq x < 2\pi.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve a função cosseno aplicada ao ângulo 2x.
  • Deve-se listar todas as soluções x que pertencem ao intervalo [0,2\pi).

Passo 2

Reduzir o problema mudando a variável para simplificar. Defino
\theta = 2x.
Assim a equação fica
\cos(\theta)=\frac{1}{2},
e depois voltarei à variável x usando \theta=2x. Observação sobre o intervalo: como x varia em 0 \le x<2\pi, então \theta=2x varia em
0 \le \theta < 4\pi.
Portanto devo procurar todas as soluções \theta de \cos(\theta)=\tfrac{1}{2} no intervalo [0,4\pi).

Passo 3

Resolver \cos(\theta)=\tfrac{1}{2}. No círculo trigonométrico, \cos(\theta)=\tfrac{1}{2} ocorre onde o ângulo forma com o eixo x o ângulo \tfrac{\pi}{3} em módulo. Assim, as soluções gerais da equação \cos(\theta)=\tfrac{1}{2} são
\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação curta: o cosseno tem período 2\pi e, num período, assume o valor \tfrac{1}{2} em dois ângulos simétricos em relação ao eixo x: \theta=\frac{\pi}{3} e \theta=2\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi.

Passo 4

Agora imposto o intervalo 0\le\theta<4\pi e listo as soluções obtidas por \theta=\pm \tfrac{\pi}{3}+2k\pi para valores de k que gerem ângulos nesse intervalo.
Faço isso separando as duas famílias:
Família 1: \theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi.
  • Para k=0: \theta=\dfrac{\pi}{3} (está em [0,4\pi)).
  • Para k=1: \theta=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3} (está em [0,4\pi)).
  • Para k=2: \theta=\dfrac{\pi}{3}+4\pi>\!4\pi (fora do intervalo).
  • Para k=-1: \theta=\dfrac{\pi}{3}-2\pi<0 (fora).
Logo da família 1 obtém-se \theta=\dfrac{\pi}{3} e \theta=\dfrac{7\pi}{3}.
Família 2: \theta=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi.
  • Para k=0: \theta=-\dfrac{\pi}{3}<0 (fora).
  • Para k=1: \theta=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3} (está em [0,4\pi)).
  • Para k=2: \theta=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3} (está em [0,4\pi)).
  • Para k=3: \theta=-\dfrac{\pi}{3}+6\pi>4\pi (fora).
Logo da família 2 obtém-se \theta=\dfrac{5\pi}{3} e \theta=\dfrac{11\pi}{3}.
Portanto todas as soluções \theta em [0,4\pi) são
\theta \in \left\{\frac{\pi}{3},\\ \frac{5\pi}{3},\\ \frac{7\pi}{3},\\ \frac{11\pi}{3}\right\}.

Passo 5

Volto para x usando \theta=2x. Para cada \theta da lista, calculo x=\dfrac{\theta}{2}:
x \in \left\{\frac{\pi}{6},\\ \frac{5\pi}{6},\\ \frac{7\pi}{6},\\ \frac{11\pi}{6}\right\}.
Verificação do intervalo: todos esses valores satisfazem 0\le x<2\pi.

Passo 6

Checo rapidamente cada solução substituindo na equação original para garantir que não houve erro:
  • Para x=\dfrac{\pi}{6}: 2x=\dfrac{\pi}{3}, \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
  • Para x=\dfrac{5\pi}{6}: 2x=\dfrac{5\pi}{3}, \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
  • Para x=\dfrac{7\pi}{6}: 2x=\dfrac{7\pi}{3}, que é equivalente a \dfrac{\pi}{3} módulo 2\pi, logo cosseno é \tfrac{1}{2}.
  • Para x=\dfrac{11\pi}{6}: 2x=\dfrac{11\pi}{3}, que é equivalente a -\tfrac{\pi}{3} módulo 2\pi, logo cosseno é \tfrac{1}{2}.
Tudo confere.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}
\dfrac{5\pi}{6}
\dfrac{7\pi}{6}
\dfrac{11\pi}{6}

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