Determine o valor de f^prime(1) e f (1) para a função abaixo, utilizando as regras dadas:
f(x)=raiz[3]x^2

Passo 1

Temos a função f(x)=√[3]{x^2}, que podemos reescrever como f(x)=x^{2/3}. O conteúdo é derivada de funções potência, e vamos precisar da regra de potência: se g(x)=x^n então g’(x)=n·x^{n−1}.

Passo 2

Para encontrar o valor de f(1), basta substituir x por 1 em f(x): f(1)=1^{2/3}. Como 1 elevado a qualquer potência continua 1, temos f(1)=1.

Passo 3

Agora vamos achar a derivada f’(x). Aplicando a regra de potência em f(x)=x^{2/3}, obtemos:
f'(x)=23,x^tfrac23 -1=23,x^-1/3

Passo 4

Por fim, para encontrar f’(1), substituímos x=1 em f’(x): f’(1)=\tfrac{2}{3}·1^{-1/3}. Como 1^{-1/3}=1, então f’(1)=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Revisando, chegamos aos valores f(1)=1 e f’(1)=2/3.

Resposta

f(1)=1; f’(1)=\tfrac{2}{3}

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