Mostre que a formulação fraca de:
dd x(A E d ud x)+2 x=0 em 1
é dada por:
integral d wd x A E d ud x d x=-0,1(w A)(x=1)+integral 2 x w d x ; forall wtal que w(3)=0

Passo 1

A equação forte trata de um problema de viga 1D em que temos o operador ddx(AE,u') + 2x = 0 em 1, com condição de contorno natural σ(1)=E u'(1)=0,1 e essencial u(3)=0,001. Nosso conteúdo é formulação fraca (varicional) e vamos precisar multiplicar por uma função teste w, integrar e usar integração por partes.

Passo 2

Multiplicamos a equação forte por uma função teste w(x) arbitrária que satisfaz w(3)=0 e integramos de 1 a 3:
integral1^3 w,ddx(AE,u'),dx + integral1^3 2x,w,dx = 0

Passo 3

Aplicamos integração por partes ao primeiro termo
integral1^3 w,ddx(AE,u'),dx = l[w,AE,u'r]1^3 - integral1^3 w',AE,u',dx

Passo 4

Como w(3)=0, o termo de fronteira em x=3 some. Em x=1 temos AE,u'(1)=A(1),σ(1)=A(1)cdot0,1. Então
l[w,AE,u'r]1^3 = -w(1),A(1)cdot0,1 = -0,1,(wA)(x=1)

Passo 5

Substituindo de volta em nossa integral, obtemos
-0,1,(wA)(x=1) - integral1^3 w',AE,u',dx + integral1^32x,w,dx = 0,
ou seja
integral1^3 w',AE,u',dx = -0,1,(wA)(x=1) + integral1^32x,w,dx,
válido para todo w com w(3)=0.

Resposta

integral1^3 w',A,E,u',dx = -0,1,(wA)(x=1) + integral1^32x,w,dx, forall w tal que w(3)=0

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