Sabendo que o vetor gradiente de f(x, y), no ponto (1,2), é nabla f(x, y)=(1,-1) que f(1,2)=3, calcule o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,2, f(1,2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ e sabe que no ponto f(x, y) , o vetor gradiente é (1, 2) e que $ f(1, 2) = 3 $. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o vetor gradiente e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O vetor gradiente nabla f(x, y) de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja, f(x, y) .
No nosso caso, x , então:
y

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente à superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é dada por:
z = f(x, y)
No nosso caso, $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 2 $ e $ z_0 = f(1, 2) = 3 $. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
(x0, y0, z0)

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
z = 3 + (x - 1) - (y - 2)
Distribuindo os sinais:
z = 3 + x - 1 - y + 2
Agora, somando os termos constantes:
z = x - y + 4

Resposta

O plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 2, 3) $ é $ z = x - y + 4 $.

Exercícios relacionados