Sabendo que o vetor gradiente de
, no ponto
, é
que
, calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ e sabe que no ponto
, o vetor gradiente é
e que $ f(1, 2) = 3 $. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o vetor gradiente e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O vetor gradiente
de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
.
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente à superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é dada por:
No nosso caso, $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 2 $ e $ z_0 = f(1, 2) = 3 $. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Distribuindo os sinais:
Agora, somando os termos constantes:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 2, 3) $ é $ z = x - y + 4 $.