Determine o valor da função
nos pontos do círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da função $ f(x, y) = \frac{x^{4} + 2x{2}y{2} + y^{4}}{1 - x^{2} - y^{2}} $ nos pontos que estão em um círculo definido pela equação $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o círculo $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Isso significa que em qualquer ponto desse círculo, a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $ é igual a $ r^{2} $. Vamos usar essa informação para simplificar a função $ f(x, y) $.
Passo 3
Olhemos para o numerador da função: $ x^{4} + 2x{2}y{2} + y^{4} $. Podemos notar que isso é igual a $ (x^{2} + y{2}){2} $, porque:
Então, podemos substituir o numerador por $ (x^{2} + y{2}){2} $.
Passo 4
Agora, substituímos $ x^{2} + y^{2} $ por $ r^{2} $ no numerador. Ficamos com:
Então, o numerador simplifica para $ r^{4} $.
Passo 5
Vamos olhar para o denominador da função, que é $ 1 - x^{2} - y^{2} $. Novamente, sabemos que $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, então podemos substituir:
Assim, o denominador simplifica para $ 1 - r^{2} $.
Passo 6
Agora, colocando tudo junto, nossa função $ f(x, y) $ nos pontos do círculo fica:
Isso significa que, para qualquer ponto que esteja no círculo $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, o valor de $ f(x, y) $ é $ \frac{r^{4}}{1 - r^{2}} $.
Resposta
O valor da função $ f(x, y) $ nos pontos do círculo $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ é: