Determine o valor da função f(x, y)=x^4+2 x^2 y^2+y^41-x^2-y^2 nos pontos do círculo x^2+y^2= r^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da função $ f(x, y) = \frac{x^{4} + 2x{2}y{2} + y^{4}}{1 - x^{2} - y^{2}} $ nos pontos que estão em um círculo definido pela equação $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o círculo $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Isso significa que em qualquer ponto desse círculo, a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $ é igual a $ r^{2} $. Vamos usar essa informação para simplificar a função $ f(x, y) $.

Passo 3

Olhemos para o numerador da função: $ x^{4} + 2x{2}y{2} + y^{4} $. Podemos notar que isso é igual a $ (x^{2} + y{2}){2} $, porque:
x^4 + 2x^2y^2 + y^4
Então, podemos substituir o numerador por $ (x^{2} + y{2}){2} $.

Passo 4

Agora, substituímos $ x^{2} + y^{2} $ por $ r^{2} $ no numerador. Ficamos com:
x^2 + y^2
Então, o numerador simplifica para $ r^{4} $.

Passo 5

Vamos olhar para o denominador da função, que é $ 1 - x^{2} - y^{2} $. Novamente, sabemos que $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, então podemos substituir:
1 - x^2 - y^2
Assim, o denominador simplifica para $ 1 - r^{2} $.

Passo 6

Agora, colocando tudo junto, nossa função $ f(x, y) $ nos pontos do círculo fica:
f(x, y)
Isso significa que, para qualquer ponto que esteja no círculo $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, o valor de $ f(x, y) $ é $ \frac{r^{4}}{1 - r^{2}} $.

Resposta

O valor da função $ f(x, y) $ nos pontos do círculo $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ é:
f(x, y)

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