16. Calcule a integral tinpla exatamente:
Passo 1
Temos a integral tripla \
O conteúdo é integrais triplas e iteradas; vamos usar integração em ordem y, depois z e por fim em x (por partes).
Passo 2
Primeiro fazemos a integral em y, lembrando que
é constante em y: \
Calculando as posições superior e inferior, obtemos
Passo 3
Em seguida integramos em z:
Passo 4
Agora sobra a integral em x:
Passo 5
Usamos a identidade
, logo
. Assim
Dividimos em
Passo 6
Para
fazemos partes com
:
Passo 7
Para
fazemos partes com
usando
Isso leva a
Passo 8
Somando
e avaliando de 0 a 2, fazemos
e obtemos
Passo 9
Finalmente
$$I=-\tfrac72\bigl[T(2)-T(0)\bigr]
=-\frac{e^6(5915+4599\cos4+2520\sin4)+1498}{3042}.$$
Passo 10
Reunindo tudo, esse é o valor exato da integral dada.
Resposta
-\nfrac{e^6(5915+4599\cos4+2520\sin4)+1498}{3042}