16. Calcule a integral tinpla exatamente:

integral0^2 integral-1^sen x integralz-x^z+x e^3 x(5 y+2 z) d y d z d x

Passo 1

Temos a integral tripla \
integralx=0^2integralz=-1^sin xintegraly=z - x^z + xe^3x(5y+2z),dy,dz,dx
O conteúdo é integrais triplas e iteradas; vamos usar integração em ordem y, depois z e por fim em x (por partes).

Passo 2

Primeiro fazemos a integral em y, lembrando que e^3x é constante em y: \
integraly=z - x^z + x(5y+2z),dy=e^3xl[tfrac52y^2+2z yr]y=z - x^z + x
Calculando as posições superior e inferior, obtemos 14xz,e^3x.

Passo 3

Em seguida integramos em z:
integralz=-1^sin x14x z,e^3x,dz=14x e^3xl[tfrac12z^2r]-1^sin x=7x e^3x(sin^2x-1)

Passo 4

Agora sobra a integral em x:
I=integral0^27x e^3x(sin^2x-1),dx

Passo 5

Usamos a identidade sin^2x=tfrac1-cos2x2, logo sin^2x-1=-tfrac1+cos2x2. Assim
I=-tfrac72integral0^2x e^3x(1+cos2x),dx
Dividimos em A=integral x e^3xdx e B=integral x e^3xcos2x,dx.

Passo 6

Para A fazemos partes com u=x,,dv=e^3xdx:
A=x e^3x3-e^3x9+C

Passo 7

Para B fazemos partes com u=x,,dv=e^3xcos2x,dx usando
integral e^3xcos2x,dx=e^3x(3cos2x+2sin2x)13
Isso leva a
B=x e^3x(3cos2x+2sin2x)13-e^3x(5cos2x+12sin2x)169+C

Passo 8

Somando A+B e avaliando de 0 a 2, fazemos
T(x)=A+B
e obtemos
T(2)=e^6l(tfrac59+tfrac73cos4+40sin4169r), T(0)=-tfrac2141521

Passo 9

Finalmente
$$I=-\tfrac72\bigl[T(2)-T(0)\bigr]
=-\frac{e^6(5915+4599\cos4+2520\sin4)+1498}{3042}.$$

Passo 10

Reunindo tudo, esse é o valor exato da integral dada.

Resposta

-\nfrac{e^6(5915+4599\cos4+2520\sin4)+1498}{3042}

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