Encontre os valores que a função f(x, y)=x^2 yx^4+y^2 assume nos pontos da parábola y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores que a função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}} $ assume quando os pontos f(x, y) = x^2 yx^4 + y^2 estão na parábola $ y = x^{2} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e substituir a equação da parábola na função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa substituir a parábola $ y = x^{2} $ na função $ f(x, y) $. Isso quer dizer que, para cada valor de $ x $, vamos substituir $ y $ por $ x^{2} $ na função. Assim, a função vai depender só de $ x $.

Passo 3

Vamos fazer essa substituição passo a passo. Substituindo $ y = x^{2} $ na função $ f(x, y) $, temos:
y = x^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão que obtivemos:
f(x, x^2) = x^4x^4 + x^4 = x^42x^4 = 12

Resposta

A função $ f(x, y) $ assume o valor constante $ \frac{1}{2} $ em todos os pontos da parábola $ y = x^{2} $.

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