Encontre a área da região limitada pelo gráfico da função f(x)=e^x, sobre o eixo x e à esquerda da reta x=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a área da região que está limitada pelo gráfico da função $ f(x) = e^{x} $, pelo eixo $ x $ e à esquerda da reta $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A função $ e^{x} $ sempre está acima do eixo $ x $, então a área que queremos calcular está entre $ x = a $ e $ x = 1 $. Precisamos descobrir de onde começa essa área.

Passo 3

Como $ e^{x} $ nunca toca o eixo $ x $, a região que consideramos começa de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Isso porque a área entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ estará limitada pela curva $ e^{x} $ e pelo eixo $ x $.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral que vai nos dar essa área. A fórmula para a área sob uma curva $ f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $ é:
f(x) Á
No nosso caso, $ f(x) = e^{x} $, $ a = 0 $ e $ b = 1 $. Então, a integral fica:
a Á

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{x} $ é bem simples, porque a derivada de $ e^{x} $ é ela mesma. Portanto:
e^x
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ 1 $:
0 Á
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então:
1 Á

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico da função $ f(x) = e^{x} $, pelo eixo $ x $ e à esquerda da reta $ x = 1 $ é $ e - 1 $.

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