Encontre a área da região limitada pelo gráfico da função
, sobre o eixo
e à esquerda da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a área da região que está limitada pelo gráfico da função $ f(x) = e^{x} $, pelo eixo $ x $ e à esquerda da reta $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A função $ e^{x} $ sempre está acima do eixo $ x $, então a área que queremos calcular está entre $ x = a $ e $ x = 1 $. Precisamos descobrir de onde começa essa área.
Passo 3
Como $ e^{x} $ nunca toca o eixo $ x $, a região que consideramos começa de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Isso porque a área entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ estará limitada pela curva $ e^{x} $ e pelo eixo $ x $.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral que vai nos dar essa área. A fórmula para a área sob uma curva $ f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $ é:
No nosso caso, $ f(x) = e^{x} $, $ a = 0 $ e $ b = 1 $. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{x} $ é bem simples, porque a derivada de $ e^{x} $ é ela mesma. Portanto:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ 1 $:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então:
Resposta
A área da região limitada pelo gráfico da função $ f(x) = e^{x} $, pelo eixo $ x $ e à esquerda da reta $ x = 1 $ é $ e - 1 $.