Use o Teorema da Convolução para obter a transformada de Laplace inversa:
I(s)=\frac{2}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
I(s)=\frac{2}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.
Dados relevantes:
I(s)=\frac{2}{(s-1)(s^{2}+4)}.
A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{I(s)\} explicitando cada passo.

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Convolução (que o enunciado pediu). Primeiro escrevo I(s) como produto de fatores cujas transformadas inversas conhecemos:
I(s)=2\cdot\frac{1}{s-1}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Recordando fórmulas básicas de Laplace:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para }s>a),
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Da segunda fórmula, isolando \sin(bt),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+b^{2}}\right\}=\frac{1}{b}\sin(bt).
Aplicando isso aos nossos fatores:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t),
pois aqui b=2.

Passo 3

O Teorema da Convolução diz que, se F(s)=F_1(s)F_2(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=(f_1 * f_2)(t)=\int_{0}^{t} f_1(\tau)\,f_2(t-\tau)\,d\tau,
onde f_i=\mathcal{L}^{-1}\{F_i\}.
No nosso caso,
\mathcal{L}^{-1}\{I(s)\}=2\left(e^{t} * \frac{1}{2}\sin(2t)\right)=\left(e^{t} * \sin(2t)\right),
porque o fator 2 cancela com \tfrac{1}{2}. Assim queremos calcular
f(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau.

Passo 4

Para calcular a integral convolução, uso a identidade do seno da diferença:
\sin\big(2(t-\tau)\big)=\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau).
Substituindo na integral:
f(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\big[\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau)\big]\,d\tau.
Separando:
f(t)=\sin(2t)\int_{0}^{t} e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau-\cos(2t)\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau.
Vou calcular as duas integrais definidas que aparecem.

Passo 5

Calculemos as primitivas gerais por integração por partes. Defino
I_{1}(\tau)=\int e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau,\qquad I_{2}(\tau)=\int e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau.
Fazendo integração por partes em I_{1} e em I_{2} (duas vezes) obtém-se o sistema
I_{1}=e^{\tau}\cos(2\tau)+2I_{2},
I_{2}=e^{\tau}\sin(2\tau)-2I_{1}.
Resolvendo esse sistema para I_{1} e I_{2}:
5I_{1}=e^{\tau}\big(\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)\quad\Rightarrow\quad I_{1}=\frac{e^{\tau}\big(\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{5},
5I_{2}=e^{\tau}\big(\sin(2\tau)-2\cos(2\tau)\big)\quad\Rightarrow\quad I_{2}=\frac{e^{\tau}\big(\sin(2\tau)-2\cos(2\tau)\big)}{5}.

Passo 6

Agora avalio as integrais definidas de 0 a t.
Para a primeira:
\int_{0}^{t} e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau =\left[\frac{e^{\tau}\big(\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{5}\right]_{0}^{t} =\frac{e^{t}\big(\cos(2t)+2\sin(2t)\big)-1}{5},
pois em \tau=0 temos e^{0}=1, \cos(0)=1, \sin(0)=0.
Para a segunda:
\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau =\left[\frac{e^{\tau}\big(\sin(2\tau)-2\cos(2\tau)\big)}{5}\right]_{0}^{t} =\frac{e^{t}\big(\sin(2t)-2\cos(2t)\big)+2}{5},
pois em \tau=0 temos \sin 0=0, \cos0=1, então subtrai-se \frac{-2}{5}, resultando no +2/5 mostrado.

Passo 7

Substituo essas expressões em f(t):
f(t)=\sin(2t)\cdot\frac{e^{t}\big(\cos(2t)+2\sin(2t)\big)-1}{5} -\cos(2t)\cdot\frac{e^{t}\big(\sin(2t)-2\cos(2t)\big)+2}{5}.
Coloco tudo sobre o denominador 5 e agrupo termos (faça calma aqui, é só álgebra):
o termo multiplicando e^{t} fica
e^{t}\big(\sin(2t)\cos(2t)+2\sin^{2}(2t)-\cos(2t)\sin(2t)+2\cos^{2}(2t)\big) = e^{t}\cdot 2\big(\sin^{2}(2t)+\cos^{2}(2t)\big)=2e^{t},
pois os produtos mistos se cancelam e \sin^{2}+\cos^{2}=1.
Os termos sem e^{t} são -\sin(2t)-2\cos(2t).
Logo, somando tudo e dividindo por 5,
f(t)=\frac{2e^{t}-\sin(2t)-2\cos(2t)}{5}.

Passo 8

Concluímos que a transformada de Laplace inversa procurada é a função f(t) obtida acima. Força aí — você já tem a fórmula pronta para reproduzir na prova: apresenta os passos de identificar as inversas, aplicar convolução e calcular a integral com a técnica que usei.

Resposta

\displaystyle \frac{2e^{t}-\sin(2t)-2\cos(2t)}{5}

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