Use o Teorema da Convolução para obter a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
Dados relevantes:
A tarefa é encontrar
explicitando cada passo.
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Convolução (que o enunciado pediu). Primeiro escrevo
como produto de fatores cujas transformadas inversas conhecemos:
Recordando fórmulas básicas de Laplace:
Da segunda fórmula, isolando
,
Aplicando isso aos nossos fatores:
pois aqui
.
Passo 3
O Teorema da Convolução diz que, se
, então
onde
.
No nosso caso,
porque o fator
cancela com
. Assim queremos calcular
Passo 4
Para calcular a integral convolução, uso a identidade do seno da diferença:
Substituindo na integral:
Separando:
Vou calcular as duas integrais definidas que aparecem.
Passo 5
Calculemos as primitivas gerais por integração por partes. Defino
Fazendo integração por partes em
e em
(duas vezes) obtém-se o sistema
Resolvendo esse sistema para
e
:
Passo 6
Agora avalio as integrais definidas de
a
.
Para a primeira:
pois em
temos
,
,
.
Para a segunda:
pois em
temos
,
, então subtrai-se
, resultando no
mostrado.
Passo 7
Substituo essas expressões em
:
Coloco tudo sobre o denominador
e agrupo termos (faça calma aqui, é só álgebra):
o termo multiplicando fica
o termo multiplicando
pois os produtos mistos se cancelam e
.
Os termos sem são
.
Logo, somando tudo e dividindo por ,
Os termos sem
Logo, somando tudo e dividindo por
Passo 8
Concluímos que a transformada de Laplace inversa procurada é a função
obtida acima. Força aí — você já tem a fórmula pronta para reproduzir na prova: apresenta os passos de identificar as inversas, aplicar convolução e calcular a integral com a técnica que usei.