Determine o valor de a para que a função f seja contínua em R, justificando sua resposta.
(b) f(x)=cccx^3-1x^2-1 & se & x neq 1 a & se & x=1

Passo 1

O enunciado apresenta a função definida por partes
Temos a função
f(x)=dfracx^3-1x^2-1,&xneq1 a,&x=1
Queremos encontrar o valor de a para que f seja contínua em R. O conteúdo envolvido é continuidade de funções definidas por partes e cálculo de limites.

Passo 2

Funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Aqui o trecho (x^3-1)/(x^2-1) está definido e contínuo sempre que x^2-1neq0, ou seja para xneqpm1. Como a única “descontinuidade aparente” que é ajustada pela definição em partes ocorre em x=1, só precisamos analisar a continuidade naquele ponto.

Passo 3

Para calcular o limite de f(x) quando xto1, fatoramos numerador e denominador:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), x^2-1=(x-1)(x+1)
Cancelando o fator (x-1) (válido para xneq1), obtemos
x^3-1x^2-1=x^2+x+1x+1

Passo 4

Agora avaliamos o limite de f(x) quando xto1 usando a forma simplificada:
limxto1f(x)=limxto1x^2+x+1x+1=1^2+1+11+1=32

Passo 5

Para que f seja contínua em x=1, é necessário que f(1)=a seja igual ao limite calculado. Portanto, devemos ter a=3/2.

Resposta

a=\tfrac{3}{2}

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