Determine o valor de a para que a função seja contínua em , justificando sua resposta.
(b)
Passo 1
O enunciado apresenta a função definida por partes
Temos a função
Queremos encontrar o valor de a para que f seja contínua em R. O conteúdo envolvido é continuidade de funções definidas por partes e cálculo de limites.
Passo 2
Funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Aqui o trecho (x^3-1)/(x^2-1) está definido e contínuo sempre que x^2-1neq0, ou seja para xneqpm1. Como a única “descontinuidade aparente” que é ajustada pela definição em partes ocorre em x=1, só precisamos analisar a continuidade naquele ponto.
Passo 3
Para calcular o limite de f(x) quando xto1, fatoramos numerador e denominador:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), x^2-1=(x-1)(x+1)
Cancelando o fator (x-1) (válido para xneq1), obtemos
x^3-1x^2-1=x^2+x+1x+1
Passo 4
Agora avaliamos o limite de f(x) quando xto1 usando a forma simplificada:
limxto1f(x)=limxto1x^2+x+1x+1=1^2+1+11+1=32
Passo 5
Para que f seja contínua em x=1, é necessário que f(1)=a seja igual ao limite calculado. Portanto, devemos ter a=3/2.