Determine:
O valor de a para que a função f(t)=\left\{\begin{aligned} a x^{2}, & \text { se }|x| \leq 3 \\\\ 0, & \text { se }|x|>3\end{aligned}\right. seja a função de densidade de probabilidade.
Uma função f positiva e integrável em \mathbb{R} é chamada densidade de probabilidade se:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1
Assim, denotamos e definimos a probabilidade de um número x estar comprendido entre a e b, a<b por:
P(a<x<b)=\int_{a}^{b} f(x) d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de a\) tal que a função
\[f(x)=\begin{cases} a x^{2}, & \text{se }|x|\leq 3,\\[4pt] 0, & \text{se }|x|>3 \end{cases}
seja uma função de densidade de probabilidade. Informações dadas importantes:
A função é f(x)=a x^{2}\] no intervalo \(|x|\leq 3 (ou seja, em [-3,3]) e vale 0 fora desse intervalo.
Para ser densidade, é necessário que
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=1.
Também é necessário que f(x)\geq 0 para todo x (mas como x^{2}\geq0, isso impõe restrição sobre a).]
Passo 2
Vamos traduzir a condição de normalização em uma integral concreta usando a forma da função. Como f(x)=0 fora de [-3,3], a integral em toda a reta reduz-se à integral em [-3,3]:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=\int_{-3}^{3} a x^{2}\,dx.
A condição de densidade pede que essa integral valha 1; portanto devemos resolver
\int_{-3}^{3} a x^{2}\,dx = 1.
Passo 3
Explico uma técnica útil: a função x^{2} é uma função par (ou seja, x^{2}=(-x)^{2}), então a integral simétrica de -3 a 3 pode ser calculada duplicando a integral de 0 a 3. Assim
\int_{-3}^{3} a x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{3} a x^{2}\,dx.
Também recordando a regra básica de integração: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui usaremos com n=2, logo \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Passo 4
Calcule a integral passo a passo. Primeiro sem o fator a:
Agora volte ao integral completo usando a simetria:
\int_{-3}^{3} a x^{2}\,dx = 2 \cdot a \cdot 9 = 18a.
Impondo a condição de densidade 18a=1, obtemos
a=\frac{1}{18}.
Passo 5
Verificação rápida da não negatividade: com a=\dfrac{1}{18} temos a>0, e como x^{2}\ge 0 então f(x)\ge 0 para todo x. Portanto a solução é válida e a função fica normalizada.