Suponha que f é integrável em [a, t], para todo t \geq a. Prove que
\int_{a}^{+\infty}|f(t)| d t \text { convergente } \Rightarrow \int_{a}^{+\infty} f(t) d t \text { convergente. }
Passo 1
O que o enunciado dá e pede. Temos que:
\text{(i) } f \text{ é integrável em }[a,t]\text{ para todo }t\ge a.
\text{(ii) } \int_{a}^{\infty}|f(t)|\,dt \text{ é convergente (ou seja, tem limite finito).}
O que se pede: provar que
\int_{a}^{\infty} f(t)\,dt \text{ é convergente.}
Vou mostrar passo a passo por que a convergência absoluta (integral de |f|) implica a convergência da integral imprópria de f.
Passo 2
Definições e notação que vou usar. Para x\ge a defino as integrais parciais
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
e
G(x)=\int_{a}^{x} |f(t)|\,dt.
Essas integrais parciais estão bem definidas porque o enunciado garante integrabilidade em todo intervalo [a,x]. A convergência da integral imprópria corresponde à existência do limite finito \lim_{x\to\infty}F(x). A hipótese diz que \lim_{x\to\infty}G(x) existe e é finito.
Passo 3
Uma desigualdade fundamental: para quaisquer u e v com a\le u\le v vale
Essa é a versão integral da desigualdade triangular e é muito usada em testes de convergência.
Passo 4
Explicar o critério de Cauchy para integrais impróprias (útil para provar convergência). Uma função f tem \int_{a}^{\infty} f(t)\,dt convergente se, e somente se, as integrais parciais F(x)=\int_a^x f formam uma sequência (ou família) que é de Cauchy quando x\to\infty, isto é:
Isto é equivalente à existência do limite \lim_{x\to\infty}F(x) em \mathbb{R}. A mesma ideia vale para G(x): a convergência de \int_a^{\infty}|f| significa que os G(x) formam uma família de Cauchy.
Passo 5
Usar a hipótese sobre G para controlar F. Pela hipótese sabemos que \lim_{x\to\infty}G(x) existe e é finito, portanto, pelo critério de Cauchy, dado \varepsilon>0 existe M tal que
Terminamos: a convergência de \int_a^{\infty}|f(t)|\,dt implica a convergência de \int_a^{\infty}f(t)\,dt. Força aí — essa é a ideia padrão: controle da integral por partes via a integral do módulo.
Resposta
Se \displaystyle\int_{a}^{\infty}|f(t)|\,dt converge, então \displaystyle\int_{a}^{\infty} f(t)\,dt converge.