Suponha que f é integrável em [a, t], para todo t \geq a. Prove que
\int_{a}^{+\infty}|f(t)| d t \text { convergente } \Rightarrow \int_{a}^{+\infty} f(t) d t \text { convergente. }

Passo 1

O que o enunciado dá e pede. Temos que:
\text{(i) } f \text{ é integrável em }[a,t]\text{ para todo }t\ge a.éá
\text{(ii) } \int_{a}^{\infty}|f(t)|\,dt \text{ é convergente (ou seja, tem limite finito).}é
O que se pede: provar que
\int_{a}^{\infty} f(t)\,dt \text{ é convergente.}é
Vou mostrar passo a passo por que a convergência absoluta (integral de |f|) implica a convergência da integral imprópria de f.

Passo 2

Definições e notação que vou usar. Para x\ge a defino as integrais parciais
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
e
G(x)=\int_{a}^{x} |f(t)|\,dt.
Essas integrais parciais estão bem definidas porque o enunciado garante integrabilidade em todo intervalo [a,x]. A convergência da integral imprópria corresponde à existência do limite finito \lim_{x\to\infty}F(x). A hipótese diz que \lim_{x\to\infty}G(x) existe e é finito.

Passo 3

Uma desigualdade fundamental: para quaisquer u e v com a\le u\le v vale
\left|\int_{u}^{v} f(t)\,dt\right|\le \int_{u}^{v} |f(t)|\,dt.
Justificativa didática: para todo t temos -|f(t)|\le f(t)\le |f(t)|. Integrando essa desigualdade em [u,v] (porque f é integrável em [u,v]) obtemos
-\int_{u}^{v}|f(t)|\,dt \le \int_{u}^{v} f(t)\,dt \le \int_{u}^{v}|f(t)|\,dt.
Isto implica imediatamente que
\left|\int_{u}^{v} f(t)\,dt\right|\le \int_{u}^{v}|f(t)|\,dt.
Essa é a versão integral da desigualdade triangular e é muito usada em testes de convergência.

Passo 4

Explicar o critério de Cauchy para integrais impróprias (útil para provar convergência). Uma função f tem \int_{a}^{\infty} f(t)\,dt convergente se, e somente se, as integrais parciais F(x)=\int_a^x f formam uma sequência (ou família) que é de Cauchy quando x\to\infty, isto é:
\forall \varepsilon>0\\ \exists M\\ \text{tal que}\\ \forall u,v\ge M,\\ \left|F(v)-F(u)\right|<\varepsilon.
Isto é equivalente à existência do limite \lim_{x\to\infty}F(x) em \mathbb{R}. A mesma ideia vale para G(x): a convergência de \int_a^{\infty}|f| significa que os G(x) formam uma família de Cauchy.

Passo 5

Usar a hipótese sobre G para controlar F. Pela hipótese sabemos que \lim_{x\to\infty}G(x) existe e é finito, portanto, pelo critério de Cauchy, dado \varepsilon>0 existe M tal que
\forall u,v\ge M\quad G(v)-G(u)=\int_{u}^{v}|f(t)|\,dt<\varepsilon.
Pelo passo 3 (desigualdade triangular) temos então, para os mesmos u,v,
\left|F(v)-F(u)\right|=\left|\int_{u}^{v} f(t)\,dt\right|\le \int_{u}^{v}|f(t)|\,dt = G(v)-G(u) < \varepsilon.
Portanto os F(x) também satisfazem o critério de Cauchy.

Passo 6

Conclusão final. Como os F(x) são Cauchy quando x\to\infty e \mathbb{R} é completo, a família F(x) tem limite finito. Logo
\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}\int_{a}^{x} f(t)\,dt
existe e é finito, ou seja,
\int_{a}^{\infty} f(t)\,dt \text{ converge.}
Terminamos: a convergência de \int_a^{\infty}|f(t)|\,dt implica a convergência de \int_a^{\infty}f(t)\,dt. Força aí — essa é a ideia padrão: controle da integral por partes via a integral do módulo.

Resposta

Se \displaystyle\int_{a}^{\infty}|f(t)|\,dt converge, então \displaystyle\int_{a}^{\infty} f(t)\,dt converge.

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