Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Se tentarmos substituir
diretamente, obtemos
ou seja, uma forma indeterminada
. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
O método que vamos usar é fatoração e simplificação algébrica (uma técnica básica e muito útil para limites que dão
). Vou explicar passo a passo o porquê e como:
- Quando aparece
, muitas vezes há um fator comum que causa os zeros; fatorando podemos cancelar esse fator. - Cancelar um fator que é zero no ponto não altera o comportamento da função para
próximos, mas diferentes de . Como limite considera valores próximos (não necessariamente o valor no ponto), isso é permitido. - Depois de simplificar, usamos a propriedade de continuidade: se a função simplificada for contínua em
, basta substituir nessa função para obter o limite.
Passo 3
Vamos fatorar numerador e denominador, tirando fatores comuns passo a passo.
Fatorando o numerador:
porque
e
.
Fatorando o denominador:
porque
e
.
Portanto a fração fica
Passo 4
Agora podemos cancelar o fator comum
, lembrando que essa cancelação é válida para
(que é exatamente o que importa para o limite):
Assim, para
próximos de
(mas não igual a
) a expressão original coincide com a função simples
.
Passo 5
A função simplificada
é contínua em todo ponto, em particular em
. Para funções contínuas, o limite quando
tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Logo,
Passo 6
Pra fixar a ideia: um exemplo parecido é
Fatorando
e cancelando
obtemos
, cujo valor em
é
. Mesmo raciocínio: forma indeterminada
→ fatorar → cancelar → substituir.