Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-x^{3}}{x^{3}-x^{2}}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1} \frac{x^{4}-x^{3}}{x^{3}-x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão do numerador é \;x^{4}-x^{3}\;.
  • A expressão do denominador é \;x^{3}-x^{2}\;.
  • Se tentarmos substituir x=1 diretamente, obtemos
\frac{1^{4}-1^{3}}{1^{3}-1^{2}}=\frac{0}{0},
ou seja, uma forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

O método que vamos usar é fatoração e simplificação algébrica (uma técnica básica e muito útil para limites que dão \frac{0}{0}). Vou explicar passo a passo o porquê e como:
  • Quando aparece \frac{0}{0}, muitas vezes há um fator comum (x-1) que causa os zeros; fatorando podemos cancelar esse fator.
  • Cancelar um fator que é zero no ponto não altera o comportamento da função para x próximos, mas diferentes de 1. Como limite considera valores próximos (não necessariamente o valor no ponto), isso é permitido.
  • Depois de simplificar, usamos a propriedade de continuidade: se a função simplificada for contínua em x=1, basta substituir x=1 nessa função para obter o limite.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador, tirando fatores comuns passo a passo.
Fatorando o numerador:
x^{4}-x^{3}=x^{3}\bigl(x-1\bigr),
porque x^{3}\cdot x = x^{4} e x^{3}\cdot 1 = x^{3}.
Fatorando o denominador:
x^{3}-x^{2}=x^{2}\bigl(x-1\bigr),
porque x^{2}\cdot x = x^{3} e x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Portanto a fração fica
\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{3}-x^{2}}=\frac{x^{3}\bigl(x-1\bigr)}{x^{2}\bigl(x-1\bigr)}.

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator comum \bigl(x-1\bigr), lembrando que essa cancelação é válida para x\neq 1 (que é exatamente o que importa para o limite):
\frac{x^{3}\bigl(x-1\bigr)}{x^{2}\bigl(x-1\bigr)}=\frac{x^{3}}{x^{2}}=x\qquad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
Assim, para x próximos de 1 (mas não igual a 1) a expressão original coincide com a função simples x.

Passo 5

A função simplificada g(x)=x é contínua em todo ponto, em particular em x=1. Para funções contínuas, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Logo,
\lim_{x\to 1} \frac{x^{4}-x^{3}}{x^{3}-x^{2}}=\lim_{x\to 1} x = 1.

Passo 6

Pra fixar a ideia: um exemplo parecido é
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Fatorando \;x^{2}-1=(x-1)(x+1)\; e cancelando (x-1) obtemos x+1, cujo valor em x=1 é 2. Mesmo raciocínio: forma indeterminada \frac{0}{0} → fatorar → cancelar → substituir.

Resposta

1

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