Determine o valor de K para que a função seja contínua no ponto indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}4 x+3, \text { se } x \leq-2 \\\ x^{2}+K, \text { se } x>-2\end{array}\right. no ponto x=-2.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 4x+3, & \text{se } x\le -2,\\[4pt] x^{2}+K, & \text{se } x>-2, \end{cases}
e pede para determinar o valor de K tal que a função seja contínua no ponto x=-2.
Informações relevantes:
  • A primeira parte (ramo à esquerda) é 4x+3 válida para x\le -2.
  • A segunda parte (ramo à direita) é x^{2}+K válida para x>-2.
  • O ponto onde queremos continuidade é x=-2.
O que se pede:
  • Encontrar K para que f seja contínua em x=-2.]

Passo 2

Definição útil (aula curtinha): dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa, por definição, que o valor da função em a e os limites laterais concordam. Mais precisamente, f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Aqui \lim_{x\to a^-} é o limite pela esquerda e \lim_{x\to a^+} é o limite pela direita. No caso de funções por partes, devemos calcular esses dois limites usando os ramos correspondentes e também avaliar f(a) (se o ramo de a estiver definido).

Passo 3

Calcular f(-2) e o limite pela esquerda \lim_{x\to -2^-} f(x).
Observação: o ramo para x\le -2 é 4x+3, e como a desigualdade inclui x=-2, o valor da função em -2 é dado por esse ramo. Então
f(-2)=4(-2)+3.
Faço a conta passo a passo:
4(-2)=-8,
-8+3=-5.
Logo
f(-2)=-5.
Como o ramo é uma função linear contínua, o limite pela esquerda é o mesmo valor:
\lim_{x\to -2^-} f(x) = -5.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to -2^+} f(x).
Para x>-2 o ramo é x^{2}+K. A função x^{2}+K é um polinômio somado a constante, e polinômios são contínuos em todo lugar. Portanto o limite pela direita é obtido substituindo x=-2 diretamente:
\lim_{x\to -2^+} f(x) = \lim_{x\to -2^+} (x^{2}+K) = (-2)^{2}+K.
Calculo:
(-2)^{2}=4,
então
\lim_{x\to -2^+} f(x)=4+K.

Passo 5

Impor a condição de continuidade em x=-2: os dois limites laterais devem ser iguais entre si e igual a f(-2). Já temos
\lim_{x\to -2^-} f(x)=-5,\qquad \lim_{x\to -2^+} f(x)=4+K,\qquad f(-2)=-5.
Basta igualar a direita à esquerda (ou igualar qualquer um dos limites ao valor f(-2)):
4+K = -5.
Resolver para K:
K = -5 - 4,
K = -9.

Passo 6

Verificação rápida: com K=-9 o ramo direito em x=-2 4+(-9)=-5, que coincide com f(-2) vindo do ramo esquerdo. Então as duas laterais e o valor no ponto coincidem, garantindo continuidade.

Resposta

-9

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