Determine o valor de
para que a função seja contínua no ponto indicado:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para determinar o valor de
tal que a função seja contínua no ponto
.
Informações relevantes:
- A primeira parte (ramo à esquerda) é
válida para . - A segunda parte (ramo à direita) é
válida para . - O ponto onde queremos continuidade é
.
O que se pede:
- Encontrar
para que seja contínua em .]
Passo 2
Definição útil (aula curtinha): dizer que uma função
é contínua em um ponto
significa, por definição, que o valor da função em
e os limites laterais concordam. Mais precisamente,
é contínua em
se e somente se
Aqui
é o limite pela esquerda e
é o limite pela direita. No caso de funções por partes, devemos calcular esses dois limites usando os ramos correspondentes e também avaliar
(se o ramo de
estiver definido).
Passo 3
Calcular
e o limite pela esquerda
.
Observação: o ramo para
é
, e como a desigualdade inclui
, o valor da função em
é dado por esse ramo. Então
Faço a conta passo a passo:
Logo
Como o ramo é uma função linear contínua, o limite pela esquerda é o mesmo valor:
Passo 4
Calcular o limite pela direita
.
Para
o ramo é
. A função
é um polinômio somado a constante, e polinômios são contínuos em todo lugar. Portanto o limite pela direita é obtido substituindo
diretamente:
Calculo:
então
Passo 5
Impor a condição de continuidade em
: os dois limites laterais devem ser iguais entre si e igual a
. Já temos
Basta igualar a direita à esquerda (ou igualar qualquer um dos limites ao valor
):
Resolver para
:
Passo 6
Verificação rápida: com
o ramo direito em
dá
, que coincide com
vindo do ramo esquerdo. Então as duas laterais e o valor no ponto coincidem, garantindo continuidade.