Determine o valor de
para que a função vetorial
definida abaixo seja contínua em
.
[
\vec{f}(t)=\left{
\right.
\vec{f}(t)=\left{
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de $ a $ que faz a função vetorial $ \vec{f}(t) $ ser contínua em $ t = 1 $. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites laterais da função quando $ t $ se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ t = 1 $ se o limite quando $ t $ se aproxima de 1 pela esquerda for igual ao limite quando $ t $ se aproxima de 1 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em $ t = 1 $.
Passo 3
Observando a função $ \vec{f}(t) $, ela tem duas partes:
Notamos que o segundo componente da função vetorial é sempre 1, então a continuidade depende apenas do primeiro componente.
Passo 4
Vamos calcular o limite da função quando $ t $ se aproxima de 1 pela direita ($ t \geq 1 $):
Agora, o valor da função em $ t = 1 $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da função quando $ t $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ 0 < t < 1 $):
Perceba que quando $ t $ se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador:
Em seguida, derivamos o denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 7
Para que a função $ \vec{f}(t) $ seja contínua em $ t = 1 $, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em $ t = 1 $. Assim, temos: