Determine o valor de a para que a função vetorial f:(0,+infty) R^2 definida abaixo seja contínua em t=1.
[
\vec{f}(t)=\left{ l (ln (a t^2), 1) se t >= 1 (sen(t^3-1)t^2-1, 1), se 0\right.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de $ a $ que faz a função vetorial $ \vec{f}(t) $ ser contínua em $ t = 1 $. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites laterais da função quando $ t $ se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ t = 1 $ se o limite quando $ t $ se aproxima de 1 pela esquerda for igual ao limite quando $ t $ se aproxima de 1 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em $ t = 1 $.

Passo 3

Observando a função $ \vec{f}(t) $, ela tem duas partes:
f(t)
Notamos que o segundo componente da função vetorial é sempre 1, então a continuidade depende apenas do primeiro componente.

Passo 4

Vamos calcular o limite da função quando $ t $ se aproxima de 1 pela direita ($ t \geq 1 $):
t
Agora, o valor da função em $ t = 1 $ é:
t >= 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da função quando $ t $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ 0 < t < 1 $):
t
Perceba que quando $ t $ se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador:
ddt [sin(t^3 - 1)] = cos(t^3 - 1) cdot 3t^2
Em seguida, derivamos o denominador:
ddt [t^2 - 1] = 2t
Agora, o limite fica:
limt to 1^- cos(t^3 - 1) cdot 3t^22t = cos(0) cdot 3 cdot 1^22 cdot 1 = 32

Passo 7

Para que a função $ \vec{f}(t) $ seja contínua em $ t = 1 $, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em $ t = 1 $. Assim, temos:
f(t)

Resposta

a = e^32

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