Determine os valores de
e
para que a função vetorial
definida abaixo seja contínua em
.
[
\vec{f}(t)=\left{
\right.
\vec{f}(t)=\left{
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função vetorial
seja contínua em $ t = 4 $. A função está definida em duas partes:
Para garantir a continuidade em $ t = 4 $, precisamos que o limite de
quando $ t $ se aproxima de 4 seja igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 2
Vamos começar igualando as componentes da função para garantir a continuidade. A segunda componente já é sempre 1, então só precisamos nos preocupar com a primeira:
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando $ t = 4 $:
Para evitar uma divisão por zero e garantir que o limite exista, o numerador também precisa ser zero quando $ t = 4 $. Então:
Passo 3
Agora que sabemos que $ a = 4 $, vamos calcular o limite para encontrar $ b $:
Vamos simplificar isso. Substitua $ t $ por $ 4 + h $, onde $ h $ é uma pequena variação que tende a zero:
Substituindo na expressão do denominador:
Agora, a expressão do limite fica:
Então, $ b = -\frac{4}{3} $.
Resposta
$ a = 4 $ e $ b = -\dfrac{4}{3} $.