Determine os valores de a e b para que a função vetorial f: R R^2 definida abaixo seja contínua em t=4.
[
\vec{f}(t)=\left{ l (t-araizt-t+2, 1) se t neq 4 (b, 1), se t=4 \right.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função vetorial a seja contínua em $ t = 4 $. A função está definida em duas partes:
b
Para garantir a continuidade em $ t = 4 $, precisamos que o limite de f(t) quando $ t $ se aproxima de 4 seja igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, t = 4 .

Passo 2

Vamos começar igualando as componentes da função para garantir a continuidade. A segunda componente já é sempre 1, então só precisamos nos preocupar com a primeira:
limt to 4 t - araizt - t + 2 = b
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando $ t = 4 $:
t = 4
Denominador: raiz4 - 4 + 2 = 2 - 4 + 2 = 0
Para evitar uma divisão por zero e garantir que o limite exista, o numerador também precisa ser zero quando $ t = 4 $. Então:
Numerador: 4 - a

Passo 3

Agora que sabemos que $ a = 4 $, vamos calcular o limite para encontrar $ b $:
a = 4
Vamos simplificar isso. Substitua $ t $ por $ 4 + h $, onde $ h $ é uma pequena variação que tende a zero:
b çã
Substituindo na expressão do denominador:
limt to 4 t - 4raizt - t + 2
Agora, a expressão do limite fica:
t
Então, $ b = -\frac{4}{3} $.

Resposta

$ a = 4 $ e $ b = -\dfrac{4}{3} $.

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