Determine o valor de m nas funções reais abaixo para que o valor máximo de:
(b) f(x)=m x^2+(m-1) x+(m+2) seja 2.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que o valor máximo de f(x)=m x^2+(m-1)x+(m+2) seja 2. O conteúdo principal é análise de funções quadráticas (determinando máximo via vértice). Vamos usar a condição de que o vértice dá o valor máximo e a fórmula do vértice.

Passo 2

Para existir valor máximo em uma função quadrática f(x)=ax^2+bx+c, precisamos ter a<0. No nosso caso, a=m, então exigimos m<0.

Passo 3

A abscissa do vértice de f(x)=ax^2+bx+c é xv=-b2a. Aqui b=m-1 e a=m, logo:
xv=-m-12m=1-m2m

Passo 4

O valor da função no vértice pode ser obtido por fmax=c-b^24a, onde c=m+2. Substituindo,
fmax=(m+2)-(m-1)^24m

Passo 5

Como queremos fmax=2, montamos a equação:
(m+2)-(m-1)^24m=2

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 4m (lembrando mneq0):
4m(m+2)-(m-1)^2=8m

Passo 7

Isso dá
4m^2+8m-(m^2-2m+1)=8m
Ou seja
3m^2+10m-1=8m
Logo
3m^2+2m-1=0

Passo 8

Resolvendo a quadrática:
m=-2pmraiz4+126=-2pm46

Passo 9

As raízes são m=1/3 e m=-1. Como precisamos de m<0 para máximo,
escolhemos m=-1.

Resposta

-1

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