Determine o valor de
, em graus, que satisfaz:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
, em graus, no intervalo
que satisfazem a equação
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função trigonométrica envolvida é o seno.
- O valor do seno dado é
. - O domínio procurado é
. - Precisamos listar todos os ângulos dentro desse intervalo que fazem a igualdade ser verdadeira.
Passo 2
Entendendo o que significa
.
Rápida revisão do conceito de seno (modo informal e prático):
- No círculo trigonométrico (raio 1),
é a coordenada do ponto no círculo correspondente ao ângulo contado a partir do eixo positivo . - Em um triângulo retângulo,
de um ângulo agudo é a razão . Isso ajuda a lembrar valores exatos clássicos.
Valores trigonométricos conhecidos e úteis (da “tabuinha”):
-
. -
. -
.
Breve demonstração de por que
(é bom saber para a prova): pegar um triângulo equilátero de lado
. Ao traçar a altura, obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa
, cateto adjacente
e cateto oposto
. Assim, para o ângulo de
,
Portanto, sabemos que um ângulo cuja seno é
pode ser
(pelo menos).
Passo 3
Encontrar o ângulo de referência.
O ângulo agudo
(ângulo referência) tal que
e
entre
e
é
, porque já vimos que
.
Passo 4
Determinar em quais quadrantes a igualdade pode ocorrer.
Propriedade importante (lembrete prático): o seno é positivo nos quadrantes onde a coordenada
do círculo unitário é positiva, isto é, primeiro e segundo quadrantes.
- Primeiro quadrante (QI): ângulos entre
e . - Segundo quadrante (QII): ângulos entre
e .
Logo, as soluções em
para
com
são:
- No QI:
. - No QII:
.
Passo 5
Verificação rápida substituindo:
-
(já conhecido). -
(identidade ).
Ambos estão dentro do intervalo
. Não há outras soluções nesse intervalo porque nos quadrantes III e IV o seno é negativo.