Determine o valor de x, em graus, que satisfaz:
\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x, em graus, no intervalo [0^\circ,360^\circ] que satisfazem a equação
\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função trigonométrica envolvida é o seno.
  • O valor do seno dado é \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • O domínio procurado é 0^\circ \leq x \leq 360^\circ.
  • Precisamos listar todos os ângulos dentro desse intervalo que fazem a igualdade ser verdadeira.

Passo 2

Entendendo o que significa \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Rápida revisão do conceito de seno (modo informal e prático):
  • No círculo trigonométrico (raio 1), \sin x é a coordenada y do ponto no círculo correspondente ao ângulo x contado a partir do eixo positivo x.
  • Em um triângulo retângulo, \sin de um ângulo agudo é a razão \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}. Isso ajuda a lembrar valores exatos clássicos.
Valores trigonométricos conhecidos e úteis (da “tabuinha”):
  • \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Breve demonstração de por que \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} (é bom saber para a prova): pegar um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 2, cateto adjacente 1 e cateto oposto \sqrt{3}. Assim, para o ângulo de 60^\circ,
\sin 60^\circ = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto, sabemos que um ângulo cuja seno é \dfrac{\sqrt{3}}{2} pode ser 60^\circ (pelo menos).

Passo 3

Encontrar o ângulo de referência.
O ângulo agudo \alpha (ângulo referência) tal que
\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}
e \alpha entre 0^\circ e 90^\circ é \alpha = 60^\circ, porque já vimos que \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Determinar em quais quadrantes a igualdade pode ocorrer.
Propriedade importante (lembrete prático): o seno é positivo nos quadrantes onde a coordenada y do círculo unitário é positiva, isto é, primeiro e segundo quadrantes.
  • Primeiro quadrante (QI): ângulos entre 0^\circ e 90^\circ.
  • Segundo quadrante (QII): ângulos entre 90^\circ e 180^\circ.
Logo, as soluções em [0^\circ,360^\circ] para \sin x = \sin \alpha com \alpha=60^\circ são:
  • No QI: x = \alpha = 60^\circ.
  • No QII: x = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

Passo 5

Verificação rápida substituindo:
  • \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} (já conhecido).
  • \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} (identidade \sin(180^\circ - \theta)=\sin\theta).
Ambos estão dentro do intervalo [0^\circ,360^\circ]. Não há outras soluções nesse intervalo porque nos quadrantes III e IV o seno é negativo.

Resposta

60^\circ
120^\circ

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