Simplifique a expressão:
\frac{1-\cos ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a expressão
\frac{1-\cos^{2} x}{1+\tan^{2} x}.
Informações dadas: a expressão é função de x. Não foi restringido o domínio além dos pontos onde as funções trigonométricas ficam indefinidas (por exemplo onde \cos x=0 ou \tan x indefinida), mas a simplificação algébrica vale simbolicamente para valores de x em que as expressões fazem sentido.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica fundamental: a identidade pitagórica.
\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1.
Dessa identidade segue diretamente que
1-\cos^{2} x = \sin^{2} x.
Explicando devagar: a identidade diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno é sempre 1. Subtraindo \cos^{2} x dos dois lados obtemos a igualdade acima, então o numerador da expressão vira \sin^{2} x.

Passo 3

Outra identidade útil é obtida dividindo a identidade pitagórica por \cos^{2} x (valida quando \cos x\neq0):
\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x}.
Isso dá
\tan^{2} x + 1 = \operatorname{sec}^{2} x.
Aqui explicando: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Assim o denominador 1+\tan^{2} x pode ser substituído por \operatorname{sec}^{2} x.

Passo 4

Substituindo o numerador e o denominador pelas identidades que achamos, a expressão original fica
\frac{1-\cos^{2} x}{1+\tan^{2} x}=\frac{\sin^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}.

Passo 5

Lembrando que \operatorname{sec}^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2} x}, dividir por \operatorname{sec}^{2} x é o mesmo que multiplicar por \cos^{2} x. Portanto
\frac{\sin^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}=\sin^{2} x\cdot\cos^{2} x.

Passo 6

Escrever a forma equivalente em potências ou usando o produto notável:
\sin^{2} x\cos^{2} x=(\sin x\cos x)^{2}.
Isso torna claro que a expressão é o quadrado do produto \sin x\cos x.

Passo 7

Opcional (forma com ângulo duplo): usar a identidade \sin 2x = 2\sin x\cos x. Então
(\sin x\cos x)^{2}=\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\sin^{2}2x.
Assim temos duas formas simples e equivalentes da simplificação.

Resposta

\sin^{2} x\cos^{2} x
\dfrac{1}{4}\sin^{2}2x

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