Simplifique a expressão:
Passo 1
O enunciado pede: simplificar a expressão
Informações dadas: a expressão é função de
. Não foi restringido o domínio além dos pontos onde as funções trigonométricas ficam indefinidas (por exemplo onde
ou
indefinida), mas a simplificação algébrica vale simbolicamente para valores de
em que as expressões fazem sentido.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica fundamental: a identidade pitagórica.
Dessa identidade segue diretamente que
Explicando devagar: a identidade diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno é sempre
. Subtraindo
dos dois lados obtemos a igualdade acima, então o numerador da expressão vira
.
Passo 3
Outra identidade útil é obtida dividindo a identidade pitagórica por
(valida quando
):
Isso dá
Aqui explicando:
e
. Assim o denominador
pode ser substituído por
.
Passo 4
Substituindo o numerador e o denominador pelas identidades que achamos, a expressão original fica
Passo 5
Lembrando que
, dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Portanto
Passo 6
Escrever a forma equivalente em potências ou usando o produto notável:
Isso torna claro que a expressão é o quadrado do produto
.
Passo 7
Opcional (forma com ângulo duplo): usar a identidade
. Então
Assim temos duas formas simples e equivalentes da simplificação.