Determine o valor de:
\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da soma das funções trigonométricas dadas. As informações fornecidas são:
  • A expressão a avaliar é \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right).
    Não há outras informações externas; a tarefa é determinar numericamente essa soma.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos básicos (bem mastigados) que usamos aqui: na circunferência trigonométrica (raio 1),
  • \sin(\theta) é a coordenada y do ponto correspondente ao ângulo \theta.
  • \cos(\theta) é a coordenada x do mesmo ponto.
    Também usamos o conceito de ângulo de referência: qualquer ângulo pode ser visto como um deslocamento a partir de um múltiplo de \pi; frequentemente escrevemos um ângulo como \pi \pm um ângulo menor. As fórmulas de simetria úteis:
  • \sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha).
  • \cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha).
    Aqui \alpha é o ângulo de referência (positivo e normalmente em [0,\tfrac{\pi}{2}]). Essas fórmulas vêm da geometria do círculo: no segundo quadrante o seno mantém o mesmo valor do ângulo de referência e o cosseno muda de sinal; no terceiro quadrante ambos são negativos, etc.

Passo 3

Identificar a posição e o ângulo de referência de \frac{5\pi}{6}.
  • Observe que \frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}. Portanto o ângulo está no segundo quadrante (pois é um pouco menor que \pi).
  • O ângulo de referência é \frac{\pi}{6}.
    Pelo item anterior, a propriedade é \sin\!\left(\pi-\alpha\right)=\sin(\alpha). Aplicando com \alpha=\frac{\pi}{6} teremos:
\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).

Passo 4

Calcular \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right). Este é um ângulo especial cujo valor é conhecido (pode-se memorizar ou deduzir a partir de um triângulo equilátero partido ao meio):
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Logo, usando o resultado do passo anterior:
\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora trate \cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right).
  • Note que \frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}. Esse ângulo está no terceiro quadrante (um pouco maior que \pi).
  • O ângulo de referência é novamente \frac{\pi}{6}.
    Pelo item de simetria, \cos\!\left(\pi+\alpha\right)=-\cos(\alpha). Aplicando com \alpha=\frac{\pi}{6} temos:
\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
E o valor conhecido é
\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Somar os dois resultados obtidos:
\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1-\sqrt{3}}{2}.
Se quiser checar numericamente: \frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}366, que bate com os sinais (positivo para o seno no 2º quadrante e negativo para o cosseno no 3º quadrante).

Resposta

\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}

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