Determine o valor de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da soma das funções trigonométricas dadas. As informações fornecidas são:
- A expressão a avaliar é
.
Não há outras informações externas; a tarefa é determinar numericamente essa soma.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos básicos (bem mastigados) que usamos aqui: na circunferência trigonométrica (raio 1),
-
é a coordenada do ponto correspondente ao ângulo . -
é a coordenada do mesmo ponto.
Também usamos o conceito de ângulo de referência: qualquer ângulo pode ser visto como um deslocamento a partir de um múltiplo de; frequentemente escrevemos um ângulo como um ângulo menor. As fórmulas de simetria úteis: -
. -
.
Aquié o ângulo de referência (positivo e normalmente em ). Essas fórmulas vêm da geometria do círculo: no segundo quadrante o seno mantém o mesmo valor do ângulo de referência e o cosseno muda de sinal; no terceiro quadrante ambos são negativos, etc.
Passo 3
Identificar a posição e o ângulo de referência de
.
- Observe que
. Portanto o ângulo está no segundo quadrante (pois é um pouco menor que ). - O ângulo de referência é
.
Pelo item anterior, a propriedade é. Aplicando com teremos:
Passo 4
Calcular
. Este é um ângulo especial cujo valor é conhecido (pode-se memorizar ou deduzir a partir de um triângulo equilátero partido ao meio):
Logo, usando o resultado do passo anterior:
Passo 5
Agora trate
.
- Note que
. Esse ângulo está no terceiro quadrante (um pouco maior que ). - O ângulo de referência é novamente
.
Pelo item de simetria,. Aplicando com temos:
E o valor conhecido é
Portanto
Passo 6
Somar os dois resultados obtidos:
Se quiser checar numericamente:
, que bate com os sinais (positivo para o seno no 2º quadrante e negativo para o cosseno no 3º quadrante).