Determine o valor das integrais abaixo.
\iint_{D} \frac{y}{x^{5}+1} d A, \quad D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA,
onde a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é \dfrac{y}{x^{5}+1}.
  • Os limites da região indicam que, para cada x em [0,1], y varia de 0 até x^{2}.
  • A pergunta é: determinar o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada (integrar primeiro em y e depois em x), porque os limites em y já estão dados em função de x. Para poder fazer isso com segurança usamos a ideia (Teorema de Fubini) que permite trocar uma integral dupla por uma integral iterada quando a função é contínua na região de integração. Aqui:
  • A função (x,y)\mapsto \dfrac{y}{x^{5}+1} é contínua em D porque x^{5}+1 nunca é zero para x\in[0,1] (temos x^{5}+1\ge 1).
    Portanto podemos escrever
\iint_{D}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy\right)dx.
Aqui a interpretação é: para cada valor fixo de x em [0,1] calculo a integral em y entre 0 e x^{2}, depois integro o resultado em x.

Passo 3

Calculo da integral interna em y. Note que, ao integrar em y com x fixo, o fator \dfrac{1}{x^{5}+1} é constante em relação a y. Logo:
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy=\frac{1}{x^{5}+1}\int_{0}^{x^{2}}y\,dy.
Agora uso a regra básica de integração: \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}. Aplicando os limites 0 e x^{2}:
\int_{0}^{x^{2}}y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x^{2}}=\frac{(x^{2})^{2}}{2}-0=\frac{x^{4}}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy=\frac{1}{x^{5}+1}\cdot\frac{x^{4}}{2}=\frac{x^{4}}{2(x^{5}+1)}.

Passo 4

Agora substituo esse resultado na integral externa em x:
\iint_{D}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{2(x^{5}+1)}\,dx.
Posso tirar a constante \dfrac{1}{2} para fora:
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{2(x^{5}+1)}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx.
Para integrar \int_{0}^{1}\dfrac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx faço a substituição apropriada. Seja
u = x^{5}+1.
Então derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 5x^{4}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{4}\,dx=\frac{du}{5}.
Quando x=0 temos u=0^{5}+1=1. Quando x=1 temos u=1^{5}+1=2. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx=\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{5}=\frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{du}{u}.
A integral de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Assim
\frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{du}{u}=\frac{1}{5}\left[\ln u\right]_{1}^{2}=\frac{1}{5}(\ln 2-\ln 1).
Como \ln 1=0, isto fica \dfrac{1}{5}\ln 2.

Passo 5

Voltando ao fator \dfrac{1}{2} que tínhamos fora da integral, o valor total da integral dupla é
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\ln 2=\frac{1}{10}\ln 2.
Verificação rápida de coerência: a função integranda é não-negativa em D (pois y\ge0 e x^{5}+1>0), logo o resultado positivo faz sentido; \dfrac{1}{10}\ln 2 é um número pequeno e positivo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}\ln 2

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