Determine o valor das integrais abaixo. \iint_{D} \frac{y}{x^{5}+1} d A, \quad D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA,
onde a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}.
Informações relevantes fornecidas:
O integrando é \dfrac{y}{x^{5}+1}.
Os limites da região indicam que, para cada x em [0,1], y varia de 0 até x^{2}.
A pergunta é: determinar o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada (integrar primeiro em y e depois em x), porque os limites em y já estão dados em função de x. Para poder fazer isso com segurança usamos a ideia (Teorema de Fubini) que permite trocar uma integral dupla por uma integral iterada quando a função é contínua na região de integração. Aqui:
A função (x,y)\mapsto \dfrac{y}{x^{5}+1} é contínua em D porque x^{5}+1 nunca é zero para x\in[0,1] (temos x^{5}+1\ge 1).
Portanto podemos escrever
Verificação rápida de coerência: a função integranda é não-negativa em D (pois y\ge0 e x^{5}+1>0), logo o resultado positivo faz sentido; \dfrac{1}{10}\ln 2 é um número pequeno e positivo.